嘿，咱们来仔细拆解这个问题～要判断集合F是不是向量空间V的子空间，得紧扣子空间的三个核心判定条件，我给你一步步分析：

首先先明确两个空间的定义：

• V是[0,1]×[0,1]上所有连续函数构成的向量空间；
• F是所有形如$f(x,y)=f_1(x)f_2(y)$的函数集合，其中$f_1,f_2$都是[0,1]上的连续函数。

子空间的三个判定条件是：

1. 包含零向量：零函数可以写成$f_1(x)=0$（连续）、$f_2(y)=0$（连续）的乘积，也就是$0(x,y)=0\cdot0$，显然属于F，这一条满足。
2. 对标量乘法封闭：假设$f(x,y)=f_1(x)f_2(y) \in F$，k是任意标量，那么$kf(x,y)=(kf_1(x))f_2(y)$。因为连续函数乘以标量后仍然连续，所以$kf_1(x)$和$f_2(y)$都是[0,1]上的连续函数，这个乘积自然属于F，这一条也满足。
3. 对加法封闭：这是关键的突破口，也是你之前可能没绕过来的点——你说乘积函数的和是连续的，这确实没错（连续函数的和还是连续的，所以这个和属于V），但子空间要求的是这个和必须属于F本身，而这里恰恰不满足。

举个简单的反例就能说明：
取$f(x,y)=x \cdot 1$（也就是$f_1(x)=x$，$f_2(y)=1$，都是连续函数，所以$f \in F$），再取$g(x,y)=1 \cdot y$（$f_1(x)=1$，$f_2(y)=y$，同样属于F）。两者相加得到$h(x,y)=f(x,y)+g(x,y)=x+y$。

现在假设$h(x,y)$属于F，那应该存在[0,1]上的连续函数$a(x)$和$b(y)$，使得对所有$x,y \in [0,1]$，都有$a(x)b(y)=x+y$。咱们代入几个特殊值验证：

• 当$x=0,y=0$时：$a(0)b(0)=0+0=0$；
• 当$x=1,y=0$时：$a(1)b(0)=1+0=1$；
  从第一个式子来看，要么$a(0)=0$，要么$b(0)=0$。如果$b(0)=0$，那第二个式子就变成$a(1)\cdot0=1$，显然矛盾；如果$a(0)=0$，再看$x=0,y=1$时：$a(0)b(1)=0+1=1$，也就是$0 \cdot b(1)=1$，同样矛盾。

这就说明$h(x,y)=x+y$无法写成单变量连续函数的乘积形式，也就是$h \notin F$，所以F对加法不封闭。

综上，因为F不满足子空间的“加法封闭”条件，所以F不是V的子空间。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Santosh Negi