嘿，我来帮你梳理下这个问题哈！首先咱们先明确已知条件：n和m是互质的正整数，满足n > m ≥ 1、奇偶性相反，且符合方程 n² - 2mn - m² = -1。现在要把a、b、c、d这四个两两互质的奇正整数用n和m的线性形式（必要时可包含mn项）表示出来。

首先得说明：a、b、c、d本身都是n和m的二次型，不可能写成纯一次的线性形式（即只含n、m的一次项，无二次项或mn项），但我们可以利用给定的方程对它们进行简化，转化为更简洁的二次表达式，或者写成n和m一次式的组合形式（比如平方和、乘积）。

先从已知方程推导出两个实用的变形：

• n² - 2mn = m² - 1（记为式1）
• n² + m² = 2mn + 1（记为式2）

各变量的简化表达： #

对于a：

• 利用式1代入简化：
  a = 6n² + 2mn + 1 或 a = 6m² + 14mn - 5
• 写成一次式的平方和形式：
  a = (2n + m)² + n²
  验证：(2n+m)² = 4n² + 4mn + m²，加上n²正好等于5n² + 4mn + m²，和原定义一致。

对于b：

• 利用式1代入简化：
  b = 6n² - 14mn + 5 或 b = 6m² - 2mn - 1
• 写成一次式的平方和形式：
  b = (n - 2m)² + m²
  验证：(n-2m)² = n² - 4mn + 4m²，加上m²正好等于n² - 4mn + 5m²，和原定义一致。

对于c：

• 利用式1代入分子，直接简化为只含m的表达式：
  c = (4m² - 1)/3 = (2m - 1)(2m + 1)/3
• 也可以转化为含n和mn的形式：
  c = (4n² - 8mn + 3)/3
  验证：比如取n=2, m=1，代入得(4*4 - 8*2*1 + 3)/3 = 3/3 = 1，和原定义计算结果一致。

对于d：

• 利用式1代入简化为含m和mn的形式：
  d = (20m² + 48mn - 17)/3
• 转化为含n和mn的形式：
  d = (20n² + 8mn + 3)/3
  验证：比如取n=12, m=5，代入得(20*144 + 8*12*5 + 3)/3 = 99/3 = 33，和原定义计算结果一致。

另外，我们可以用具体的解来验证这些简化式的正确性：比如佩尔方程n²-2mn-m²=-1的前两组解是(n=2,m=1)和(n=12,m=5)，代入上面的简化式，结果都和原定义计算的a、b、c、d完全匹配。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kieren MacMillan