以下问题出自Arbib与Manes所著《Arrows, Structures and Functors the categorical imperative》一书。

背景 #

(1) 动机与定义1 #

我们已经知道单对象范畴是幺半群，现在来看任意范畴可以被视为广义幺半群的一种意义。给定范畴$\textbf{K}$，令
$$\textbf{M}{\textbf{K}}=\coprod{A,B\in \text{Obj}\textbf{K}}\textbf{K}(A,B)$$
为$\textbf{K}$中所有态射的集合。复合运算定义了一个部分函数：
$$\textbf{M}{\textbf{K}}\times\textbf{M}{\textbf{K}}\to\textbf{M}_{\textbf{K}}:(f,g)\mapsto g\circ f.$$

我们看看如何从这个函数重新得到$\textbf{K}$中的单位元：称$u$为单位元，当且仅当只要$g\circ u$有定义，就有$g\circ u=g$；且只要$u\circ f$有定义，就有$u\circ f=f$。和之前一样，每个态射$f$恰好有一个单位元$u$使得$u\circ f$有定义，记为$C(f)$（即$f$的余定义域的单位元）；同时恰好有一个单位元$v$使得$f\circ v$有定义，记为$D(f)$（即$f$的定义域的单位元）。因此上述部分函数满足以下条件：

1. 存在全函数
   $$C,D: \textbf{M}{\textbf{K}}\to \text{单位元集合}\subseteq\textbf{M}{\textbf{K}}$$
   满足：
   $$D(D(f))=D(f)=C(D(f));$$
   $$D(C(f))=C(f)=C(C(f));$$
   $$f\circ D(f)=f=C(f)\circ f.$$
2. $g\circ f$有定义当且仅当$C(f)=D(g)$。若$g\circ f$有定义，则$D(g\circ f)=D(f)$且$C(g\circ f)=C(g)$。此外，若$(h\circ g)\circ f$或$h\circ (g\circ f)$中有一个有定义，则两者都有定义且$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$。

实际上，只要给定满足条件1和2的部分函数，我们就能重构出一个范畴，其对象就是这些单位元。

(2) 定义2 #

广义幺半群自然需要广义同态$H:\textbf{M}{\textbf{K}}\to \textbf{M}{\textbf{L}}$，显然它需要满足：
$$f\text{是单位元} \implies Hf\text{是单位元}\quad (1)$$
$$g\cdot f\text{有定义} \implies H(g\cdot f)=Hg\cdot Hf.\quad (2)$$

对于$\textbf{K}$中的每个对象$A$，记$HA$为使得$H(\text{id}A)=\text{id}{HA}$的对象（即$H(\text{id}_A)$是$HA$上的单位元）。由于对于$f:A\to B$，$f\cdot\text{id}_A$有定义，根据(2)可得：
$$Hf=H(f\cdot \text{id}_A)=Hf\cdot H(\text{id}A)=Hf\cdot\text{id}{\color{purple}{AH}}.$$

因此$Hf$能与$\text{id}_{\color{purple}{AH}}$复合，说明它的定义域是$\color{purple}{AH}$。同理，由于$\text{id}_B\cdot f$有定义，$Hf$的余定义域必然是$\color{purple}{BH}$。因此(2)简而言之就是：$H(A\xrightarrow{f}B)=HA\xrightarrow{Hf}HB.$

(3) 定义3 #

从范畴$\textbf{K}$到范畴$\textbf{L}$的函子$H$是一个满足以下条件的映射：

• 对象映射：$\text{Obj}(\textbf{K})\to \text{Obj}(\textbf{L}):A\mapsto HA$；
• 态射映射：对$\textbf{K}$中每对对象$A,B$，$\textbf{K}(A,B)\to \textbf{L}(HA, HB):f\mapsto Hf$；

且满足两条公理：
$$H(\text{id}A)=\text{id}{HA}\quad\text{对所有 }A\in\text{Obj}(\textbf{K})$$
$$H(g\cdot f)=Hg\cdot Hf \quad\text{当 }g\cdot f\text{在}\textbf{K}\text{中有定义时}.$$

若对象映射$A\mapsto HA$以及每个态射映射$\textbf{K}(A,B)\to \textbf{L}(HA, HB)$都是双射，则称$H$是一个同构。

疑问 #

符号修正疑问 #

我用紫色标注的$\color{purple}{AH}$和$\color{purple}{BH}$是不是应该写成$HA$和$HB$？这看起来像是印刷错误？

函子定义相关疑问 #

2a) 我理解定义2中的$H$是广义幺半群的同态映射，但在定义3中，$H$只是被描述为一个函数？这里的表述是否需要更明确？

2b) 另外，在函子的语境中，$HA$和$HB$具体是什么意思？我知道在定义1中$C(f)$和$D(f)$是类似的定义域/余定义域映射，但函子语境下的$HA$从未被明确说明作为映射的具体含义。

函子同构的定义疑问 #

我对这段描述不太清楚：“若对象映射$A\mapsto HA$以及每个态射映射$\textbf{K}(A,B)\to \textbf{L}(HA, HB)$都是双射，则称$H$是一个同构。”

用数学符号表述的话，是不是说存在两个映射：

• $p:A\mapsto HA$（对象层面的映射）
• $q:\textbf{K}(A,B)\to \textbf{L}(HA, HB)$（态射层面的映射）
  并且这两个映射都是双射？

如果是这样的话：

• $p$是双射意味着它既是单射又是满射。但满射的定义需要明确$HA$的元素是什么？因为$HA$从未被明确定义，满射应该是类似“对任意$w\in \text{Obj}(\textbf{L})$，存在$A\in\text{Obj}(\textbf{K})$使得$HA=w$”这样的表述吗？

• 对于态射映射$q:\textbf{K}(A,B)\to \textbf{L}(HA, HB)$，$\textbf{K}(A,B)$是$\textbf{K}$中从$A$到$B$的所有态射的集合，比如${f_i}{i\in I}\subseteq \textbf{K}(A,B)$；$\textbf{L}(HA, HB)$是$\textbf{L}$中从$HA$到$HB$的所有态射的集合，比如${Hf_i}{i\in I}\subseteq \textbf{L}(HA, HB)$。那么$q$是单射是不是意味着：若$q(f_1)=q(f_2)$，则$f_1=f_2$？而$q$是满射是不是意味着：对任意$h\in \textbf{L}(HA, HB)$，存在$f\in \textbf{K}(A,B)$使得$q(f)=h$？

提前感谢各位解答！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Seth