嗨，我来帮你梳理这个有限域上矩阵半群的问题，咱们一步步拆解：

第一个问题：是否对每个$A \in Mat_n(F_q)$都存在$X \in Mat_n(F_q)$使得$AXA=A$？ #

答案是肯定的。$Mat_n(F_q)$是一个正则半群，正则半群的核心定义就是每个元素都有“正则逆”——也就是满足$axa=a$的元素$x$，不管这个元素是满秩可逆矩阵还是降秩奇异矩阵。所以不管$A$的秩是多少，都能找到符合要求的$X$。

第二个问题：构造满足$AXA=A$的具体$X$ #

我们可以利用矩阵的秩分解来构造：
假设$A$的秩为$r$（$0 \leq r \leq n$），在有限域$F_q$上，必然存在可逆矩阵$P, Q \in Mat_n(F_q)$，把$A$化成标准形：
$$A = P \cdot \begin{pmatrix} I_r & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot Q$$
这里$I_r$是$r$阶单位矩阵，右下角是$(n-r)$阶零矩阵。

接下来构造$X$：
$$X = Q^{-1} \cdot \begin{pmatrix} I_r & Y \ Z & W \end{pmatrix} \cdot P^{-1}$$
其中$Y$是任意$r \times (n-r)$矩阵，$Z$是任意$(n-r) \times r$矩阵，$W$是任意$(n-r) \times (n-r)$矩阵。

你可以手动验证一下：
$$AXA = P \cdot \begin{pmatrix} I_r & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot Q \cdot Q^{-1} \cdot \begin{pmatrix} I_r & Y \ Z & W \end{pmatrix} \cdot P^{-1} \cdot P \cdot \begin{pmatrix} I_r & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot Q$$
化简后就是$P \cdot \begin{pmatrix} I_r & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot Q = A$，完全满足条件。

如果想要最简单的构造，直接取$Y=0, Z=0, W=0$就行，也就是：
$$X = Q^{-1} \cdot \begin{pmatrix} I_r & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot P^{-1}$$

第三个问题：奇异矩阵的“逆”（满足$AXA=A$的$X$）的数量 #

• 当$A$可逆（$r=n$）时：
  从$AXA=A$两边左乘$A^{{-1}$得$XA=I_n$，右乘$A}{-1}$得$AX=I_n$，所以$X$只能是$A^{-1}$，唯一解。

• 当$A$奇异（$r < n$）时：
  结合刚才的秩分解，我们令$Z = QXP$，那么$X$和$Z$是一一对应的（因为$P,Q$可逆）。而满足条件的$Z$需要满足$\begin{pmatrix} I_r & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} Z \begin{pmatrix} I_r & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$。

  把$Z$分块成$\begin{pmatrix} Z_{11} & Z_{12} \ Z_{21} & Z_{22} \end{pmatrix}$，代入后会发现$Z_{11}$必须等于$I_r$，而$Z_{12}, Z_{21}, Z_{22}$可以是$F_q$上任意对应大小的矩阵。

  计算总数量：

  • $Z_{11}$固定为$I_r$，只有1种选择
  • $Z_{12}$是$r \times (n-r)$矩阵，每个元素有$q$种可能，共$q^{r(n-r)}$种
  • $Z_{21}$是$(n-r) \times r$矩阵，共$q^{(n-r)r}$种
  • $Z_{22}$是$(n-r) \times (n-r)$矩阵，共$q^{(n-r)2}$种

  总数量就是这些的乘积：
  $$q^{r(n-r) + (n-r)r + (n-r)^2} = q^{(n-r)(n + r)} = q^{n2 - r^2}$$

  举个直观例子：如果$A$是零矩阵（$r=0$），那么任何$X$都满足$AXA=0=A$，数量就是$q^{n2}$，和公式结果一致；如果$r=n-1$，数量就是$q^{2n-1}$，也符合计算逻辑。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者geoffrey