嗨，我来一步步带你搞定这个PDE系统的线性化吧——刚接触PDE的时候，这种非线性项确实容易让人头大，尤其是你提到的$w(\partial_x w)$这一项，咱们慢慢拆解。

首先，先明确**平衡点（稳态解）**的定义：平衡点是不随时间变化的解，也就是$\partial_t w_0 = 0$，$\partial_t u_0 = 0$，所以先写出稳态条件：

稳态时满足：
$$0 = \partial_x u_0 + w_0 u_0$$
$$0 = w_0 (\partial_x w_0) + b(x)$$
这两个方程是找到$(w_0, u_0)$的关键，它们只依赖于空间变量$x$，和时间$t$无关。

接下来，线性化的核心思路是：把原解写成稳态解+小扰动，也就是：
$$w(x,t) = w_0(x) + \varepsilon w_1(x,t)$$
$$u(x,t) = u_0(x) + \varepsilon u_1(x,t)$$
这里$\varepsilon$是一个很小的参数（比如$\varepsilon \ll 1$），$w_1$和$u_1$是微小的扰动项。我们的目标是把原方程展开后，只保留$\varepsilon$的一阶项，忽略高阶项（比如$\varepsilon^2$及以上的项）——这也是你问的“为什么忽略部分偏导项”的原因：因为扰动足够小，高阶小量的影响相对于一阶项来说可以忽略不计，这是线性化的核心假设，只有这样才能把非线性问题转化为更容易处理的线性问题。

第一个方程的线性化 #

原方程：$\partial_t w = \partial_x u + wu$
代入$w$和$u$的表达式：
$$\partial_t (w_0 + \varepsilon w_1) = \partial_x (u_0 + \varepsilon u_1) + (w_0 + \varepsilon w_1)(u_0 + \varepsilon u_1)$$
左边：因为$w_0$不随时间变化，$\partial_t w_0 = 0$，所以左边就是$\varepsilon \partial_t w_1$。
右边展开后：
$$\partial_x u_0 + \varepsilon \partial_x u_1 + w_0 u_0 + \varepsilon(w_1 u_0 + w_0 u_1) + \varepsilon^2 w_1 u_1$$
根据稳态条件，$\partial_x u_0 + w_0 u_0 = 0$，这部分常数项直接抵消。然后我们只保留$\varepsilon$的一阶项，扔掉$\varepsilon^2$的项（因为它是高阶小量），两边除以$\varepsilon$后得到：
$$\partial_t w_1 = \partial_x u_1 + u_0 w_1 + w_0 u_1$$

第二个方程的线性化（重点解决你困惑的$w(\partial_x w)$项） #

原方程：$\partial_t u = w(\partial_x w) + b$
同样代入$w = w_0 + \varepsilon w_1$：
左边：$\partial_t (u_0 + \varepsilon u_1) = \varepsilon \partial_t u_1$（$u_0$是稳态，时间导数为0）
右边展开：
$$(w_0 + \varepsilon w_1) \cdot \partial_x(w_0 + \varepsilon w_1) + b(x) = (w_0 + \varepsilon w_1)(\partial_x w_0 + \varepsilon \partial_x w_1) + b(x)$$
把乘积展开：
$$w_0 \partial_x w_0 + \varepsilon w_0 \partial_x w_1 + \varepsilon w_1 \partial_x w_0 + \varepsilon^2 w_1 \partial_x w_1 + b(x)$$
根据稳态条件，$w_0 \partial_x w_0 + b(x) = 0$，这部分常数项也抵消了。同样只保留$\varepsilon$的一阶项，忽略$\varepsilon^2$项，两边除以$\varepsilon$后得到：
$$\partial_t u_1 = w_0 \partial_x w_1 + (\partial_x w_0) w_1$$

最后再强调一下忽略高阶项的原因：线性化的前提是扰动足够微小，$w_1$和$u_1$的大小远小于稳态解$w_0$和$u_0$，所以它们的乘积、乘积的导数这些项都是“小量×小量”，属于高阶小量，对系统行为的影响非常微弱，完全可以忽略。这样我们就得到了围绕平衡点$(w_0,u_0)$的线性化方程组，接下来就可以用线性PDE的方法去分析它的稳定性或者求解了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者twist_lsk