嘿，咱们一步步来拆解这个数论问题，先把核心逻辑理清楚，再解决你的疑问：

一、核心数论知识点回顾 #

要搞定这个问题，关键得记住：一个正整数是完美k次方，当且仅当它的素因数分解中，每个素数的指数都是k的倍数。比如完美立方数的所有素指数都是3的倍数，完美平方数的所有素指数都是2的倍数。

二、明确n的素因数分解初始形式 #

已知n能被20整除，而20=2²×5¹，所以n的素因数至少包含2和5。为了找到最小的n，咱们不需要引入其他素因数（加额外素因子只会让n变大），所以可以设：
n = 2^a × 5^b
其中a≥2（因为2²整除n），b≥1（因为5¹整除n）。

另外你提到的n=2²·5·k，其中k=2^i·5^j，其实就是把n的素因数分解拆成了已知部分和待求部分：代入后n=2^(2+i) ×5^(1+j)，也就是a=2+i，b=1+j，咱们后面会用这个形式来推导约束。

三、拆解两个关键约束条件 #

约束1：n²是完美立方 #

先写出n²的素因数分解：
n² = (2^a ×5^b)² = 2^(2a) ×5^(2b)
因为n²是完美立方，所以2a和2b都必须是3的倍数：

• 对于2a ≡ 0 mod 3：因为2和3互质，所以a必须是3的倍数（即a ≡0 mod3）
• 对于2b ≡0 mod3：同理，b必须是3的倍数（即b≡0 mod3）

约束2：n³是完美平方 #

再写出n³的素因数分解：
n³ = (2^a ×5^b)³ =2^(3a) ×5^(3b)
因为n³是完美平方，所以3a和3b都必须是2的倍数：

• 对于3a ≡0 mod2：因为3和2互质，所以a必须是2的倍数（即a≡0 mod2）
• 对于3b ≡0 mod2：同理，b必须是2的倍数（即b≡0 mod2）

四、结合初始条件找最小的a和b #

现在我们需要找到满足以下条件的最小正整数a和b：

1. a≥2，且a同时是2和3的倍数（即a是6的倍数）：最小的a是6
2. b≥1，且b同时是2和3的倍数（即b是6的倍数）：最小的b是6

所以最小的n就是2^6 ×5^6 = (2×5)^6 =10^6=1000000

五、计算n的位数 #

1000000是1后面跟着6个0，总共是7位数字。

六、用你提到的k的形式验证约束 #

咱们代入你给出的n=2²·5·k，k=2^i·5^j，即a=2+i，b=1+j：

• 对于约束1（n²是完美立方）：
  2a=2(2+i)必须是3的倍数 → 4+2i ≡0 mod3 → 2i≡2 mod3 → i≡1 mod3
  2b=2(1+j)必须是3的倍数 →2+2j≡0 mod3 →2j≡1 mod3 →j≡2 mod3
• 对于约束2（n³是完美平方）：
  3a=3(2+i)必须是2的倍数 →6+3i≡0 mod2 →i≡0 mod2
  3b=3(1+j)必须是2的倍数 →3+3j≡0 mod2 →j≡1 mod2

现在找最小的非负i和j：

• i要满足i≡1 mod3且i≡0 mod2：最小的i是4（4是偶数，4÷3余1）
• j要满足j≡2 mod3且j≡1 mod2：最小的j是5（5是奇数，5÷3余2）

所以k=2^4×55=16×3125=50000，代入得n=2²×5×50000=4×5×50000=1000000，和之前的结果完全一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1202341