各位拓扑学领域的朋友们，我现在碰到一个关于网与滤子对应关系的问题，想请大家帮忙梳理思路：

设$X$是一个集合，对于任意$X$中的网$(x_d)_{d\in D}$，我们定义对应的滤子：
$$\color{red}{\mathcal{F}[x_d]}:=\big{F\in 2^X:(\exists d_0\in D)(\forall d\in D)\big(d_0\preceq _Dd\Rightarrow x_d\in F\big)\big}.$$
已经可以轻松证明$\mathcal{F}[x_d]$是$X$上的一个滤子。

我的核心问题是：如果$\mathcal{G}$是$X$上的一个滤子，满足$\mathcal{F}[x_d]\subseteq \mathcal{G}$，那么存在$(x_d){d\in D}$的一个子网$(y_e){e\in E}$，使得$\mathcal{G}=\mathcal{F}[y_e]$。

我采用的子网定义 #

称$(y_e){e\in E}$是$(x_d){d\in D}$的子网，当且仅当存在映射$\kappa :E\to D$满足：

• 对所有$e\in E$，$y_e=x_{\kappa(e)}$；
• 若$e_1\preceq _Ee_2$，则$\kappa (e_1)\preceq_D\kappa(e_2)$；
• 对任意$d\in D$，存在$e\in E$使得$d\preceq _D\kappa (e)$。

我的尝试与困境 #

我试过用标准的子网构造思路：先找一个命题$\phi$，让集合$E:={(d,F)\in D\times \mathcal{G}:\phi }$成为有向集，其中$E$上的序关系$\preceq_E$定义为：$(d_1,F_1)\preceq _E(d_2,F_2)$当且仅当$d_1\preceq Dd_2$且$F_2\subseteq F_1$。之后定义映射$\kappa :E\to D$为$\kappa (d,F):=d$，子网$y_e=x{\kappa(e)}$。

但我始终找不到合适的$\phi$，能让最终构造出的子网对应的滤子恰好等于$\mathcal{G}$。

希望大家能给我一些构造方向或者命题$\phi$的选择建议，非常感谢大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rfloc