嘿，这个问题戳中了代数变形里很容易混淆的一个点，我来给你掰扯清楚！

先看你提到的一般情况：

从 $p(x) = \frac{q(x)}{x}$（我们称之为式(1)）出发，其中$p$和$q$都是多项式。两边乘$x$得到 $xp(x) = q(x)$，这个等式在$x=0$处成立当且仅当$q(0)=0$。

核心逻辑其实在于定义域的前提：

• 原始等式 $p(x) = \frac{q(x)}{x}$ 从一开始就自带限制：$x≠0$，毕竟分母不能为0，这是不可逾越的前提。
• 当你给等式两边乘$x$时，这个操作的可逆性只在$x≠0$时成立——因为只有$x≠0$的时候，你才能再除以$x$把等式还原回去。如果$x=0$，乘$x$就相当于两边都乘0，不管原始等式是否成立，结果都会变成$0=0$，这是个恒真的式子，但这和原始等式在$x=0$处的有效性完全没关系。

再拿你给的具体案例来说：

比如 $2 = \frac{2x}{x}$，我们明确知道它只在$x≠0$时成立。两边乘$x$得到$2x=2x$，这个式子确实对所有$x$都成立，但这里要分清楚两件事：

1. 从 $2 = \frac{2x}{x}$ 推导到 $2x=2x$，这个推导过程只在$x≠0$的前提下是有效的，因为原始式子根本不允许$x=0$出现在定义域里。
2. $2x=2x$ 本身对$x=0$成立，这是这个新等式自己的属性，不是从原始式子推导出来的结论。你不能因为变形后的式子在$x=0$成立，就反过来认为原始式子在$x=0$也成立——原始式子在$x=0$处是没有定义的，连“成立”或“不成立”的资格都没有。

最后给你总结核心结论：

• 当你给式(1)两边乘$x$时，不能直接把$x=0$重新纳入原始等式的定义域。变形后的等式 $xp(x)=q(x)$ 可能在$x=0$处成立，但这是新等式的定义域范围，和原始等式的定义域是两码事。
• 只有当$q(0)=0$时，$xp(x)=q(x)$在$x=0$处成立，这时候你可以说：原始等式在$x≠0$时等价于$xp(x)=q(x)$，而$xp(x)=q(x)$在$x=0$处也成立，但原始等式本身在$x=0$还是没有定义的——除非你主动扩展$p(x)$的定义（比如利用多项式的连续性，因为$q(0)=0$时，$\frac{q(x)}{x}$在$x→0$时有极限，补充定义$p(0)$等于这个极限，让$p(x)$成为完整的多项式）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nav Bhatthal