嘿，我来给你捋捋这个推导的关键点～

首先先明确我们的核心问题：

已知$\alpha$是曲面$M \subseteq \mathbb R^3$上的曲线，$U$是$M$的单位法向量限制在$\alpha$上，形状算子$S$定义为$S_p(v)=-\nabla_v(U)$（$\nabla_v(U)$是$U$关于$v$的协变导数），需要证明$S(\alpha')=-U'$。

你用协变导数定义的思路是对的，不过可能在链式法则的符号对应上有点混淆，给你几个关键提示：

• 先明确$U'$的含义：这里的$U'$是**$U$作为曲线$\alpha$上的函数对参数$t$的导数**，也就是$U'(t) = \frac{d}{dt}U(\alpha(t))$，当我们取点$p=\alpha(t_0)$时，$U'(p)$就是$\frac{d}{dt}\bigg|_{t=t_0}U(\alpha(t))$。
• 回忆协变导数的几何定义：$\nabla_{\alpha'(p)} U$就是$U$沿着切向量$\alpha'(p)$的方向导数，它的表达式就是$\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0}U(\alpha(p+t))$，这其实就是$U$在点$p$处的导数$U'(p)$（把$p$看作$\alpha(0)$的话，就是$U'(0)$）。
• 代入形状算子的定义：$S_p(\alpha'(p)) = -\nabla_{\alpha'(p)} U = -\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0}U(\alpha(t)) = -U'(p)$，这正好就是我们要证的$S(\alpha')=-U'$。

你之前写的$S_p(\alpha')=\alpha'U'(p)$应该是符号对应上的小失误——在欧氏空间的曲面中，$\frac{d}{dt}U(\alpha(t))$本质上就是协变导数$\nabla_{\alpha'(t)} U$，不需要额外乘$\alpha'$，因为链式法则里的$\alpha'(t)$已经作为方向向量包含在协变导数的定义里啦。

换个更直观的角度理解：形状算子描述的是曲面法向量沿着切方向的变化率，$U'$是法向量沿着曲线$\alpha$的变化率，而$\alpha'$就是曲线的切方向，所以两者自然是相反数的关系，这也是形状算子能刻画曲面曲率特性的原因之一。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mahmoud Mrowi