嘿，这个问题提得非常到位！咱们一步步梳理清楚：

首先明确嵌入的核心要求：映射$f: X \to Y$是嵌入，当且仅当$f: X \to f(X)$是同胚。你已经证明了$f$连续且单射，接下来只需要验证这个双射的逆映射连续（等价于证明$f$是从$X$到$f(X)$的闭映射）。

具体推导过程如下：

• 任取$X$中的闭集$F$，因为$X = A \cup B$且$A、B$都是闭集，所以$F$可以拆成$F = (F \cap A) \cup (F \cap B)$，其中$F \cap A$是$A$中的闭集，$F \cap B$是$B$中的闭集。
• 已知$f|_A: A \to f(A)$是同胚，所以$f(F \cap A)$是$f(A)$中的闭集。又因为$f$连续、$A$是$X$的闭集，再结合$f$的单射性（$f^{-1}(f(A)) = A$），可知$f(A)$在子空间$f(X)$中是闭集——由此可推出$f(F \cap A)$也是$f(X)$中的闭集（闭集的闭子集仍为闭集）。
• 用完全相同的逻辑，$f(F \cap B)$也是$f(X)$中的闭集。
• 两个闭集的并集还是闭集，因此$f(F) = f(F \cap A) \cup f(F \cap B)$是$f(X)$中的闭集。

这就说明$f$是从$X$到$f(X)$的闭映射，加上已经满足的连续双射条件，根据同胚的定义，$f: X \to f(X)$必然是同胚，也就是$f$是嵌入。

这里要特别记住两个关键前提：一是**$f$必须是单射**，去掉这个条件结论直接不成立；二是$A、B$必须是闭集——如果换成开集，类似结论不一定成立（比如把两个开区间“粘贴”时，映射可能无法成为嵌入）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者shuhalo