问题描述 #

设函数 $f:[0,\infty)\to \mathbb{R}$ 满足：

• 对任意 $x<y$，都有 $f(x)\ge f(y)$（$f$是单调递减函数）
• 反常积分 $\int_{0}^{\infty}f(x) \ dx$ 收敛
• $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续

需要证明两个结论：

1. 对任意 $a>0$，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f(na)$ 收敛；
2. 极限等式 $\lim_{a\to 0} \left( a\sum_{n=1}^{\infty} f(na)\right) = \int_{0}^{\infty}f(x), dx$ 成立。

结论1的证明 #

第一个结论我已经梳理出了思路，核心推导很简洁：
$$\int_{0}^{{\infty}f(x)dx=\sum_{n=1}}{\infty}\int_{(n-1)a}^{na}f(x)dx\geq a\sum_{n=1}^{\infty}f(na)$$
展开来说，因为$f$是单调递减函数，所以在区间$[(n-1)a, na]$上，$f(x)$的最小值就是右端点的$f(na)$，因此每个区间的积分都满足$\int_{(n-1)a}^{na}f(x)dx\geq a\cdot f(na)$。把所有区间的积分累加起来，左边是已知收敛的反常积分，右边是$a$乘以待证的级数，根据正项级数的比较判别法，这个级数必然收敛。

结论2的求助 #

不过到第二个结论这里我卡住了，本来想着能不能把式子往黎曼和的方向转化，但试了半天不知道该怎么入手，有没有大佬能给点提示或者完整的思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lior