嗨，这个问题问到点子上了，咱们结合线性代数的基本概念一步步说清楚。

首先先把问题的前提再明确下：

• 给定正整数 $n>0, n \in \mathbb{N}$
• 有 $n+1$ 个向量 $a_0, a_1, ..., a_n$，满足两两线性无关——简单说就是任意两个不同的向量 $a_i$ 和 $a_j$（$i≠j$），都没法用其中一个乘以某个非零数得到另一个，也就是它们不共线（高维空间里就是不共线概念的推广）。

先打破一个常见误区 #

首先得明确：两两线性无关≠整个向量组线性无关！就像你提到的例子，在二维空间$\mathbb{R}^2$里，我们能找到无穷多两两线性无关的向量——比如所有和x轴夹角不是0或180度的向量，随便挑两个都不共线，但你要是挑3个出来，这3个肯定线性相关，毕竟二维空间最多只能容纳2个线性无关的向量。

核心条件是什么？ #

要让这组两两线性无关的向量构成线性无关组，需要满足以下关键条件：

• 必要前提：向量空间的维数至少为$n+1$
  这是基础，如果向量所在的空间维数小于$n+1$，那根据线性代数的基本定理，空间里任意线性无关组的大小都不能超过空间维数，所以$n+1$个向量必然线性相关，不管它们两两是否无关。

• 充分必要条件：任意一个向量都不能被其余$n$个向量的线性组合表示
  结合两两线性无关的前提，这个条件等价于：不存在全不为零的数域系数$k_0,k_1,...,k_n$，使得 $k_0a_0 + k_1a_1 + ... + k_na_n = 0$。
  举个反例：在$\mathbb{R}^3$里，向量$(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(1,1,0)$两两线性无关，但第三个向量是前两个的和，所以存在非零系数组合$1*(1,0,0)+1*(0,1,0)-1*(1,1,0)=0$，整个组线性相关。

• 可操作的验证方法：矩阵秩等于$n+1$
  把这$n+1$个向量作为列向量（或行向量）拼成一个矩阵，计算这个矩阵的秩。如果秩等于$n+1$，那这组向量就是线性无关的；反之则线性相关。毕竟矩阵的秩就等于其列（行）向量组的极大线性无关组的大小。

正面例子 #

在$n+1$维空间$\mathbb{R}^{n+1}$里，标准基向量$e_0=(1,0,...,0)$、$e_1=(0,1,...,0)$、...、$e_n=(0,0,...,1)$，它们两两线性无关，同时整个组也是线性无关的——因为每个基向量都没法被其他基向量的线性组合表示，对应的矩阵是单位矩阵，秩为$n+1$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Darth jedi