让我来梳理这个问题的思路，一步步拆解背后的条件：

首先，先明确立方幂级数的系数表达式：对于给定的幂级数 $u(x) = \sum_{n=0}^\infty u_n x^n$，其立方展开的系数 $w_n$ 是三重卷积的结果：
$$w_n = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{n-i} u_i u_j u_{n-i-j}$$
我们需要找到使得 $\lim_{n\to\infty} \frac{w_n}{u_n} = 0$ 的条件，核心是分析这个三重卷积和与 $u_n$ 的比值的渐近行为。

先排除几种不符合的情况 #

• 多项式情况：如果 $u(x)$ 是多项式，那么只有有限个 $u_n$ 非零，此时 $w_n$ 也只有有限个非零（对应原多项式次数的3倍），比值 $\frac{w_n}{u_n}$ 要么无意义（$u_n=0$ 时），要么在某些点取非零值，极限不可能为0。
• 指数/阶乘衰减的整函数：比如 $u_n = \frac{r^n}{n!}$（对应 $u(x)=e^{rx}$），此时 $w_n = \frac{(3r)^n}{n!}$，比值 $\frac{w_n}{u_n}=3^n \to \infty$，显然不满足；再比如 $u_n = r^n$（对应 $u(x)=\frac{1}{1-rx}$），$w_n = \binom{n+2}{2}r^n$，比值 $\frac{w_n}{u_n}=\frac{(n+2)(n+1)}{2}\to\infty$，也不满足。

实用充分条件：系数多项式衰减（阶数大于1） #

如果存在常数 $\alpha>1$，使得 $|u_n| = O\left(n^{-\alpha}\right)$（即系数以多项式速度衰减，且衰减阶数大于1），那么可以证明 $\lim_{n\to\infty}\frac{w_n}{u_n}=0$：

• 首先，三重卷积的项数是 $O(n^2)$（对于固定 $n$，满足 $i+j+k=n$ 的非负整数组 $(i,j,k)$ 有 $\frac{(n+2)(n+1)}{2}$ 个，即二次增长）。
• 每个项 $|u_i u_j u_{n-i-j}| = O\left(i^{-\alpha}j{-\alpha}(n-i-j)^{-\alpha}\right)$，当 $n$ 很大时，$i,j,n-i-j$ 都不太小的情况下，每个项的量级是 $O\left(n^{-3\alpha}\right)$。
• 因此 $|w_n| = O\left(n^2 \cdot n^{-3\alpha}\right) = O\left(n^{2-3\alpha}\right)$。
• 而 $|u_n|=O\left(n^{-\alpha}\right)$，所以比值 $\left|\frac{w_n}{u_n}\right|=O\left(n^{2-3\alpha + \alpha}\right)=O\left(n^{2-2\alpha}\right)$。
• 由于 $\alpha>1$，$2-2\alpha<0$，当 $n\to\infty$ 时，$n^{2-2\alpha}\to0$，故极限为0。

更一般的充分条件 #

只要满足 $\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{i+j+k=n}|u_i u_j u_{n-i-j}|}{|u_n|}=0$，就可以得到目标极限。除了上面的多项式衰减，以下情况也满足：

• 混合衰减：比如 $|u_n|=O\left(\frac{1}{a^n n^\alpha}\right)$（$a>1$，$\alpha>1$），此时 $w_n=O\left(\frac{n^2}{an n^{3\alpha}}\right)$，比值 $\frac{w_n}{u_n}=O\left(n^{2-2\alpha}\right)\to0$。
• 超多项式衰减（慢于指数）：比如 $|u_n|=O\left(\frac{1}{n^n}\right)$，此时 $w_n=O\left(\frac{n^2 3^n}{nn}\right)$，而 $\frac{n^2 3^n}{nn}=n^2 \left(\frac{3}{n}\right)^n\to0$（因为 $\left(\frac{3}{n}\right)^n$ 衰减速度远快于 $n^2$ 的增长），故比值极限为0。

必要条件的核心 #

从上面的分析可以看出，一个必要条件是：${|u_n|}$ 不能是“多项式有界且不趋向0”的序列，也不能是“指数或阶乘衰减但立方后系数的衰减速度慢于原系数”的序列。更精确地说，必须满足：
$$\lim_{n\to\infty} \frac{\max_{i+j+k=n}|u_i u_j u_{n-i-j}|}{|u_n|}=0$$
因为三重和的绝对值不超过项数乘以最大项，所以如果最大项与 $u_n$ 的比值趋向0，再结合项数的增长速度慢于 $u_n$ 的衰减速度的倒数，就能得到整体极限为0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user26977