大家好，我最近碰到了这么一个数学问题，想请教一下怎么解决：

寻找所有小于200的正整数n，使得$n^2 + (n+1)^2$是一个完全平方数。

我自己尝试了两种思路，但都卡在了半路：

• 先设$n^2 + (n+1)^2 = m^2$（m是正整数），推导得到$(m+n)(m-n) = (n+1)^2$，但到这一步就不知道该怎么继续推导了；
• 也试过展开原方程，得到$2n^2 + 2n + 1 = m^2$，但同样没找到突破口。

后来我查了相关方法，发现这个问题可以转化为佩尔方程来求解，具体步骤如下：

1. 方程变形为佩尔方程形式
   把原方程展开整理后得到2n² + 2n + 1 = m²，给两边乘以2可以进一步变形：
   $$(2n+1)^2 + 1 = 2m^2$$
   也就是：
   $$(2n+1)^2 - 2m^2 = -1$$
   我们令$x=2n+1$，$y=m$，就得到了佩尔方程：$x^2 - 2y^2 = -1$。

2. 求解佩尔方程的正整数解
   佩尔方程$x^2 - 2y^2 = -1$的基本解是$(x_1,y_1)=(1,1)$，所有正整数解可以通过递推公式得到：

• $x_{k+1} = x_k + 2y_k$
• $y_{k+1} = x_k + y_k$
  或者通过$(1+\sqrt{2})^{2k-1}$展开来获取每一组解（k为正整数）。

3. 计算符合条件的n值
   我们根据解来计算对应的n，并且保证n是小于200的正整数：

• k=1时，x=1，y=1，代入$x=2n+1$得n=0，不是正整数，舍去；
• k=2时，x=7，y=5，代入得$2n+1=7$，解得n=3，验证：$3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$，符合要求；
• k=3时，x=41，y=29，代入得$2n+1=41$，解得n=20，验证：$20^2 + 21^2 = 841 = 29^2$，符合要求；
• k=4时，x=239，y=169，代入得$2n+1=239$，解得n=119，验证：$119^2 + 120^2 = 28561 = 169^2$，符合要求；
• k=5时，x=1393，代入得n=696，已经大于200，停止计算。

所以最终满足条件的正整数n是：3、20、119。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Frosty