我最近在研究经典数论问题："任意整数$n$都存在一个仅由数字1和0组成的十进制倍数"（如果有人碰巧看到这个帖子想解决这个问题，可以考虑用鸽巢原理）。之后我正在看的书里又提出要证明：同样的结论对仅由数字0和$k$组成的数也成立，但对其他数字对不成立。这部分不算太难，因为对所有其他数字对都有现成的反例（比如找一些需要特定数字出现在其倍数中的数就行）。

不过除了这些明显的反例，我一直在思考一个延伸问题：比如对于数字对(2,5)、(4,5)、(6,5)、(8,5)，反例是$n=10$（其实任何10的倍数都可以）。但看起来对于大多数不被10整除的整数，这个结论似乎成立。目前我找到的唯一其他反例是125的奇数倍（注意偶数倍同时也是10的倍数）。基于我写的代码验证（已经检查到$n=10000$），我猜想这些就是仅有的反例，但我不确定为什么会这样。基于这些结果，我提出了几个猜想：

• 任何不被10整除且不被125整除的整数$n$，都存在仅由数字2和5组成的十进制倍数。
• 任何不被10整除且不被25整除的整数$n$，都存在仅由数字4和5组成的十进制倍数（这个结论同样适用于数字对(6,5)和(8,5)）。

当然还可以针对其他数字对提出类似结论，但先暂时说到这里。

我已经有了一些进展：比如当$n$与10互质时，这两个猜想都成立——因为存在仅由1组成的数是$n$的倍数，那么通过乘法就能得到仅由我们想要的数字组成的$n$的倍数。但这没法解释为什么对于大多数与10有公因数的数，结论依然成立。有没有人能针对这类问题给出通用的解答？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fnark Man