问题详情 #

一个数除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，但除以11余0，求这个数。

我尝试先计算2、3、4、5、6的最小公倍数，然后减1得到59，再乘以11。我哪里错了？请指导。

问题分析与纠错 #

嘿，咱们一步步拆解你的思路和问题哈：

首先，你的第一步思路是对的：观察到这个数除以2、3、4、5、6时，余数都比除数小1，这意味着这个数加1之后就能被这五个数同时整除。所以先求这五个数的最小公倍数（LCM）：

• LCM(2,3,4,5,6) = 60，所以满足前五个余数条件的数可以表示为 60k - 1（k是正整数），你算出来的59就是当k=1时的结果，这部分完全没问题。

那你错在哪呢？你直接把59乘以11，想让它能被11整除，但这样做会破坏它原本满足的前五个余数条件。举个例子：59除以3余2，符合要求，但5911=649，649除以3的余数是1（因为3216=648，649-648=1），这就不符合“除以3余2”的要求了。原因是：当你给一个数乘以11时，它和2、3、4等数的模运算结果会发生变化（除非11和这些除数是倍数关系，但显然不是），所以不能直接通过乘法来强制满足被11整除的条件。

正确解法 #

我们需要找到合适的k，使得 60k - 1 能被11整除，也就是满足：
60k - 1 ≡ 0 mod 11

先简化这个同余式：

• 60除以11的余数是5（因为11*5=55，60-55=5），所以式子可以转化为 5k - 1 ≡ 0 mod 11，也就是 5k ≡ 1 mod 11

接下来找k的值：我们需要找到一个整数k，让5k除以11余1。试算一下就能发现，5*9=45，45除以11余1，所以k=9是一个解。

代入通式 60k -1，得到最小的正整数解：
60*9 -1 = 539

验证一下：

• 539 ÷2 =269余1，符合；
• 539 ÷3=179余2，符合；
• 539 ÷4=134余3，符合；
• 539 ÷5=107余4，符合；
• 539 ÷6=89余5，符合；
• 539 ÷11=49余0，完全符合所有条件！

当然，所有满足条件的数可以表示为 539 + 660m（m是非负整数，660是60和11的最小公倍数），539是最小的正整数解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bruh