嘿，这个问题挺有意思的！你通过试错发现的三角数连续项解确实很巧妙，不过咱们可以用代数变形的方式更系统地推导出来，而且还能彻底验证是不是所有解都在这个序列里。

第一步：等价变形简化原方程 #

首先，咱们先对原方程做代数变形，把它转化成更容易处理的形式。原方程是：
$$(x-y)^2 = \frac{4xy}{x+y-1}$$
因为x、y是正整数，所以$x+y-1$至少是$1+1-1=1$，肯定不为0，咱们可以两边同时乘以$x+y-1$，得到：
$$(x-y)^2(x+y-1) = 4xy$$

接下来，利用平方和的恒等式：$(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy$，也就是$4xy = (x+y)^2 - (x-y)^2$。把这个代入上面的式子：
$$(x-y)^2(x+y-1) = (x+y)^2 - (x-y)^2$$
把右边的$(x-y)^2$移到左边，整理一下：
$$(x-y)^2(x+y-1 + 1) = (x+y)^2$$
也就是：
$$(x-y)^2(x+y) = (x+y)^2$$
因为x、y是正整数，$x+y ≥ 2$，所以可以两边同时除以$x+y$，得到等价的简化方程：
$$(x-y)^2 = x + y$$

第二步：换元求解简化后的方程 #

现在这个方程就简单多了！咱们不妨假设$x ≥ y$（因为方程关于x、y对称，后面交换x、y就能得到另一组解），设$k = x - y$，其中k是正整数（k=0时x=y，代入简化方程得0=2x，没有正整数解，所以k≥1）。

把$x = y + k$代入简化后的方程$x + y = (x-y)^2$：
$$(y + k) + y = k^2$$
整理得：
$$2y + k = k^2 → 2y = k^2 - k → y = \frac{k(k-1)}{2}$$
然后x的表达式就是：
$$x = y + k = \frac{k(k-1)}{2} + k = \frac{k(k+1)}{2}$$

第三步：验证解的集合及对称性 #

你看，这就是你发现的三角数序列！当k取≥2的正整数时：

• k=2时，$y=\frac{2×1}{2}=1$，$x=\frac{2×3}{2}=3$，对应解(3,1)和(1,3)
• k=3时，$y=\frac{3×2}{2}=3$，$x=\frac{3×4}{2}=6$，对应解(6,3)和(3,6)
• k=4时，$y=\frac{4×3}{2}=6$，$x=\frac{4×5}{2}=10$，对应解(10,6)和(6,10)
  完全和你试错得到的结果一致！

而且因为我们的推导过程都是等价变形（每一步都可逆，没有丢失解或者引入额外解），所以所有正整数解都包含在这个集合里——不存在其他解了。

总结 #

通过代数变形把原方程简化成$x+y=(x-y)^2$，再用换元法直接推导出解的表达式，这个过程比试错猜规律更“自然”，也能直接证明解的完整性。所有正整数解就是成对的连续三角数，以及它们的对称形式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Param_1729