嗨，我最近碰到这么一个概率问题，想和大家聊聊我的困惑：

问题描述：银行客户到达服从参数为L的泊松过程，已知过去一小时内有4位客户到达，求其中2位在第一个半小时到达，另外2位在第二个半小时到达的概率。给出的正确答案是0.375，但我觉得题目里好像缺了参数L？

我一开始想用条件概率来解，先回忆泊松过程的概率公式：
$$P(N(t)=n) = \frac{(Lt)^n}{n!} e^{-Lt}$$
这里$N(t)$表示t时间内到达的客户数。

不过我好像搞错了事件定义，一开始错误地计算成了：
$$ \frac{P(N(1/2)=1)}{P(N(1)=3)} = \frac{(L/2) e^{{-L/2}}{\frac{(L)}3}{3!} e^{-L}} $$
这么算的话L消不掉，我是不是哪里理解错了？或者题目真的缺信息？

其实这里有两个关键问题需要理清：

1. 事件定义完全错了 #

我们要求的是已知1小时内总共到达4个客户的条件下，前半小时到2个、后半小时到2个的概率，不是你写的那个“前半小时到1个且1小时到3个”的事件，这完全是两个不同的条件概率场景。

2. 参数L会被消掉，题目并不缺信息 #

泊松过程有个核心性质，或者我们直接用条件概率公式推导，就能看到L会被约掉：

设：

• 事件A：1小时内到达4个客户，即$N(1)=4$
• 事件B：前半小时到2个客户，且后半小时到2个客户，即$N(1/2)=2$ 且 $N(1)-N(1/2)=2$

根据条件概率公式：
$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
而$A \cap B$其实就是事件B，因为B发生时A必然成立（2+2=4）。

步骤1：计算$P(B)$

由于泊松过程具有独立增量性，前半小时和后半小时的客户到达数是独立的：
$$P(N(1/2)=2) = \frac{(L \cdot \frac{1}{2})^2}{2!} e^{-L \cdot \frac{1}{2}}$$
$$P(N(1)-N(1/2)=2) = \frac{(L \cdot \frac{1}{2})^2}{2!} e^{-L \cdot \frac{1}{2}}$$
所以两者相乘得到：
$$P(B) = \left( \frac{(L/2)^2}{2!} e^{-L/2} \right)^2 = \frac{L^4}{64} e^{-L}$$

步骤2：计算$P(A)$

$$P(N(1)=4) = \frac{(L \cdot 1)^4}{4!} e^{-L \cdot 1} = \frac{L^4}{24} e^{-L}$$

步骤3：计算条件概率

把两者相除，L和$e^{-L}$都会被消掉：
$$P(B|A) = \frac{\frac{L^4}{64} e^{{-L}}{\frac{L}4}{24} e^{-L}} = \frac{24}{64} = \frac{3}{8} = 0.375$$

另外还有个更简便的思路：泊松过程中，已知一段时间内到达n个客户的条件下，这n个客户的到达时间是独立均匀分布在该时间段内的。

换句话说，每个客户在前半小时到达的概率都是1/2，且各客户之间独立，所以这个概率等价于二项分布$Bin(n=4, p=1/2)$中取k=2的概率：
$$C(4,2) \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{8} = 0.375$$
这样就不用涉及参数L，直接得到结果啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者tac