设$\mathbb{R}^3$中的直线$l$有参数方程$\alpha(t) = a + t\boldsymbol{v}$，$p$是任意一点。证明点$p$到直线$l$的最短距离为：
$$d = \frac{||(\boldsymbol{p - a}) \times \boldsymbol{v}||}{||\boldsymbol{v}||}$$

我自己画了一个对应这个问题的示意图（图里把小写$p$写成了大写$P$，见谅），其中$Q$是从$P$向直线$l$作垂线的垂足。

根据正弦的定义，我得到$d = \sin\theta||p - a||$，但从这一步开始，我就搞不懂为什么$\frac{||(\boldsymbol{p - a}) \times \boldsymbol{v}||}{||\boldsymbol{v}||}$会和$d$有关系，也不知道怎么消掉$\sin\theta$。另外根据右手定则，$\boldsymbol{p - a}$和$\boldsymbol{v}$的叉积方向不是和$d$完全无关吗？

别担心，你的思路其实已经对了一半，只是对叉积的几何意义理解得还不够透彻！

首先回忆一下叉积的模长公式：对于两个向量$\boldsymbol{u}$和$\boldsymbol{w}$，$||\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{w}|| = ||\boldsymbol{u}|| \cdot ||\boldsymbol{w}|| \cdot \sin\theta$，这里的$\theta$就是两个向量之间的夹角，和你图里的$\theta$是同一个角哦！

把$\boldsymbol{u} = \boldsymbol{p - a}$，$\boldsymbol{w} = \boldsymbol{v}$代入这个公式，就能得到：
$$||(\boldsymbol{p - a}) \times \boldsymbol{v}|| = ||\boldsymbol{p - a}|| \cdot ||\boldsymbol{v}|| \cdot \sin\theta$$

接下来把等式两边都除以$||\boldsymbol{v}||$，就变成：
$$\frac{||(\boldsymbol{p - a}) \times \boldsymbol{v}||}{||\boldsymbol{v}||} = ||\boldsymbol{p - a}|| \cdot \sin\theta$$

哎，这不就是你之前推导出来的$d$的表达式吗？！

至于你纠结的叉积方向问题：没错，叉积的方向确实是垂直于$\boldsymbol{p - a}$和$\boldsymbol{v}$所在的平面，但我们这里用到的是叉积的模长——模长是个标量，只和向量长度、夹角有关，和方向完全无关！它刚好对应了你要的最短距离$d$，因为这个距离本质上就是$\boldsymbol{p - a}$在垂直于直线$l$方向上的投影长度，而$\sin\theta||\boldsymbol{p - a}||$正好就是这个投影的长度。

再给你补个更直观的几何理解：$\boldsymbol{p - a}$可以看作是从直线上点$a$指向点$p$的向量，它和直线方向向量$\boldsymbol{v}$能构成一个平行四边形，这个平行四边形的面积就是$||(\boldsymbol{p - a}) \times \boldsymbol{v}||$。而平行四边形的面积也等于「底（直线方向向量的长度$||\boldsymbol{v}||$）乘以高（我们要求的最短距离$d$）」，所以$d = \frac{\text{平行四边形面积}}{\text{底}} = \frac{||(\boldsymbol{p - a}) \times \boldsymbol{v}||}{||\boldsymbol{v}||}$，这样是不是一下子就通了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者RTF