问题背景 #

你现在遇到的是这样一个几何题：梯形$ABCD$中，$AB = 2$，$DC = 3$，$E$是$AB$的中点（也就是$AE=EB=1$），需要求线段$AF:FG:GC$的比例。你已经通过三角形相似得出了两个结论：

• $AF = \frac{FC}{3}$
• $AG = \frac{2GC}{3}$

现在想搞清楚，怎么找到$AF$和$AG$之间的关系，对吧？

具体推导思路 #

其实咱们可以先把这两个比例都转化成和整条对角线$AC$的关系，这样就能直接找到$AF$和$AG$的关联了：

1. 从$AF = \frac{FC}{3}$出发，咱们可以把$FC$换成$AC - AF$，代入后就是$AF = \frac{AC - AF}{3}$，解这个式子：
   $3AF = AC - AF$ → $4AF = AC$ → $AF = \frac{1}{4}AC$
2. 再看$AG = \frac{2GC}{3}$，同样把$GC$换成$AC - AG$，代入得：
   $AG = \frac{2(AC - AG)}{3}$ → $3AG = 2AC - 2AG$ → $5AG = 2AC$ → $AG = \frac{2}{5}AC$

现在$AF$和$AG$都用$AC$的分数表示了，它们的关系就很明确了：$AF:AG = \frac{1}{4}:\frac{2}{5} = 5:8$

接下来求$AF:FG:GC$就简单了，咱们可以把$AC$设成20份（4和5的最小公倍数，方便计算）：

• $AF = \frac{1}{4}×20 = 5$份
• $AG = \frac{2}{5}×20 = 8$份，所以$FG = AG - AF = 8 - 5 = 3$份
• $GC = AC - AG = 20 - 8 = 12$份

所以最终的比例就是$AF:FG:GC = 5:3:12$

额外验证方法 #

如果你想更直观地确认，还可以用坐标法：给梯形设定一组坐标，比如把$A$放在$(0,0)$，$B$放在$(2,0)$，$D$放在$(m,h)$，$C$放在$(m+3,h)$，那么$E$点坐标就是$(1,0)$。然后写出直线$DE$和$CE$的方程，分别和对角线$AC$（方程是$y = \frac{h}{m+3}x$）联立，求出$F$和$G$的坐标，再计算线段长度的比例，结果会和上面的推导完全一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Javi