问题背景 #

设函数 $f: \mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R}$ 满足：对任意 $x_0 \in \mathbb{R}^N$ 和 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $a, b, c, d \in B(x_0, \delta)$ 且 $a \neq b, c \neq d$ 时，有：
$$
\left|\frac{f(a)-f(b)}{|a-b|}-\frac{f(c)-f(d)}{|c-d|}\right| < \epsilon.
$$
需要完成两个证明：

• (a) $f$ 的所有偏导数存在；
• (b) 这些偏导数是连续的。

我的证明思路尝试 #

我首先想到的是通过选取特定的 $a, b, c, d$，把这个不等式转化为我熟悉的导数定义形式。先再看一下核心不等式：
$$
\left|\frac{{f(a) - f(b)}}{{|a - b|}} - \frac{{f(c) - f(d)}}{{|c - d|}}\right| < \epsilon.
$$
取 $\mathbf{e}_j$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中的单位向量，取足够小的 $h$ 使得 $x_0 + h\mathbf{e}_j \in B(x_0, \delta)$，然后令：
$$
a = x_0 + h\mathbf{e}_j, \quad b = x_0, \quad c = x_0 - h\mathbf{e}_j, \quad d = x_0.
$$
代入不等式后得到：
$$
\left|\frac{{f(x_0 + h\mathbf{e}_j) - f(x_0)}}{{|h\mathbf{e}_j|}} - \frac{{f(x_0 - h\mathbf{e}_j) - f(x_0)}}{{|h\mathbf{e}_j|}}\right| < \epsilon.
$$
我觉得左边包含了偏导数的右极限（对应 $+h$）和左极限（对应 $-h$）的形式，想法是当 $h \to 0$ 时，这个不等式对任意 $\epsilon$ 成立，说明偏导数存在，甚至可能是零？另外我也在考虑能不能用这个思路来证明偏导数的连续性。

思路分析与改进建议 #

你的方向是对的，但有些细节需要修正和细化，我给你梳理下：

1. 偏导数存在性的修正
   你提到“偏导数实际存在且是零”是个误区，我们先整理代入后的式子：
   因为 $|h\mathbf{e}_j| = |h|$，式子可以改写为：
   $$
   \left| \frac{f(x_0 + h\mathbf{e}_j) - f(x_0)}{|h|} - \frac{f(x_0 - h\mathbf{e}_j) - f(x_0)}{|h|} \right| < \epsilon.
   $$
   进一步整理后得到：
   $$
   \left| \frac{f(x_0 + h\mathbf{e}_j) - f(x_0 - h\mathbf{e}_j)}{|h|} \right| < \epsilon.
   $$
   这只能说明左右方向的差商具有对称性，还不足以直接推出偏导数存在。我们可以换一种更有效的选取方式：
   固定 $x_0$ 和 $\mathbf{e}_j$，取 $a = x_0 + t\mathbf{e}_j$，$b = x_0$，$c = x_0 + s\mathbf{e}_j$，$d = x_0$，其中 $t, s > 0$ 且足够小（都落在 $B(x_0, \delta)$ 内）。代入不等式后得到：
   $$
   \left| \frac{f(x_0 + t\mathbf{e}_j) - f(x_0)}{t} - \frac{f(x_0 + s\mathbf{e}_j) - f(x_0)}{s} \right| < \epsilon.
   $$
   这说明正方向的差商构成了柯西序列，当 $t \to 0^+$ 时，这个差商必有极限。同理，对负方向的差商（$t < 0$，令 $t = -k$，$k > 0$），差商形式为 $\frac{f(x_0) - f(x_0 - k\mathbf{e}_j)}{k}$，再利用原不等式对比正方向差商，可证明左右极限相等，从而偏导数存在。

2. 偏导数连续性的扩展证明
   你的思路可以直接扩展用来证连续性：假设我们已经证明了偏导数 $\partial_j f(x)$ 存在，现在要证它在 $x_0$ 处连续。
   取 $x$ 足够接近 $x_0$，再取 $a = x + h\mathbf{e}_j$，$b = x$，$c = x_0 + h\mathbf{e}_j$，$d = x_0$，当 $h$ 足够小、$x$ 足够接近 $x_0$ 时，这些点都在 $B(x_0, \delta)$ 内。代入原不等式得：
   $$
   \left| \frac{f(x + h\mathbf{e}_j) - f(x)}{h} - \frac{f(x_0 + h\mathbf{e}_j) - f(x_0)}{h} \right| < \epsilon.
   $$
   让 $h \to 0$，两边取极限，就得到 $|\partial_j f(x) - \partial_j f(x_0)| \leq \epsilon$，这就直接证明了偏导数在 $x_0$ 处的连续性。

3. 核心条件的本质理解
   原条件其实是在说：所有“单位步长”的差商在局部是一致接近的，也就是差商具有局部一致收敛性，这个条件恰好等价于 $f$ 是 $C^1$ 函数（偏导数存在且连续），这正是我们要证明的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Edwyn Collins