我最近在研究可解的高次代数方程（对应分圆域的子域）时，发现了一些关于预解方程因式分解的有趣规律，整理了几个例子，同时有两个问题想请教大家：

I. p = 11 #

对于$x=2\cos\frac{2\pi}{11}$，它的极小多项式是：
$$x^5 +x^4 −4x^3 −3x^2 +3x+1 = 0$$

大家都知道，方法1会把它解成这种形式：
$$x = \frac15\left(A+y_1^{1/5}+y_2{1/5}+y_3^{1/5}+y_4{1/5}\right)$$
这里的$y_k$是四次预解方程的四个根。但问题在于，当所有$y_k$都是复数时，这种形式会有点麻烦。所以我找到了另一种方法（方法2），只需要用到一个根$y_1$：
$$y_1= -\frac{ab}{11} =-\frac{11}{4} \left(89-25 \sqrt{5}-5 \sqrt{-(410+178 \sqrt{5})}\right) $$
有意思的是，$y_1$可以分解成两个复数$a$和$b$的乘积：
$$a=\frac{11}{4}\left(-1+5\sqrt{5}+\sqrt{-10(5+\sqrt{5})}\right)$$
$$b=\frac{11}{4}\left(-31+5\sqrt{5}-\sqrt{-10(85+31\sqrt{5})}\right)$$
利用这个分解，我们可以用另一种方式解这个极小多项式：
$$x_k = -\frac{1}{5}\left(\frac{1}{\beta^{{-1}}+\frac{1}{\beta}0}+\frac{11}{\beta^{1}+\frac{a}{\beta}2}+\frac{b}{\beta^3} \right)$$
其中$\color{blue}{\beta^5+y_1=0}$。这个关于$\beta$的五次方程有五个解，对应五个$x_k$。因为方法2只需要对一个复数$y_1$开五次方，就避开了方法1的问题。

II. p = 29 #

对于$x=2\left(\cos\frac{2\pi}{29} + \cos\frac{24\pi}{29}\right)$，它的极小多项式是：
$$x^7 + x^6 - 12x^5 - 7x^4 + 28x^3 + 14x^2 - 9x + 1 = 0$$
这个方程也能用方法2来解，不过2015年的笔记我还没找到，暂时没法展开细节。

III. p = 43 #

对于$x=2\left(\cos\frac{2\pi}{43} + \cos\frac{12\pi}{43} +\cos\frac{14\pi}{43}\right)$，它的极小多项式是：
$$x^7 + x^6 - 18x^5 - 35x^4 + 38x^3 + 104x^2 + 7x - 49 = 0$$
好在我找到了这个例子的笔记。它的六次预解方程是：
$$43^{21} - 109288043513083876814190246493y + 343597088843572196970429y^2 - 781038748669395217y^3 + 1264067561247y^4 - 1479157y^5 + y^6 = 0$$
这个看起来复杂的六次方程其实可以大幅简化，只需要借助$r=2\cos\frac{2\pi}7$的极小多项式$r^3+r2-2r-1=0$，就能把它转化为一个二次方程：
$$y^2 - 43(8265 - 7889r + 343r^2)y + 43^7 = 0$$
（如果要还原回六次方程，只需要用结式消去$r$就行）

和四次预解方程的根类似，这个六次方程的根$y$也有两种分解方式：
$$y_1 = \frac{43^4pq}{43} = \frac{43^4rs}{43}$$
其中$(p,q,r,s)$分别是以下方程的合适根：
$$43^3 - 1849p + 645p^2 + 41p^3 + 15p^4 - p^5 + p^6 = 0\
43^3 + 282983q + 511267q^2 + 615413q^3 + 511267q^4 + 282983q^5 + 43^3q6 = 0$$
以及：
$$43^2 - 1763r - 1553r^2 + 3277r^3 - 1553r^4 - 1763r^5 + 43^2r6 = 0\ 43^4 + 1577197s + 329337s^2 + 50161s^3 + 7659s^4 + 853s^5 + 43s^6= 0$$

举个例子，如果取$y_1 \approx -22340.0362 + 520883.4167i$，对应的近似根是：
\begin{align}
p &\approx 23.9788 - 280.9484i, \qquad q\approx -79435.9450 + 3360.6067i\
r &\approx 887.1924 - 1622.2486i, \quad s\approx -10877.3102 + 5356.5441i
\end{align}
通过上面的分解关系就能确定正确的$(p,q,r,s)$。注意到$q$和$r$对应的六次方程是回文多项式（系数对称）。这一点我也很疑惑，为什么会这样？

用方法2解这个七次方程的形式是：
$$x_k = \frac{1}{7}\left(\frac{1}{\beta^{{-1}}-\frac{1}{\beta}0}+\frac{43}{\beta^{1}+\frac{43\color{red}p}{\beta}2}+\frac{43^2r}{\beta3}+\frac{43^2s}{\beta4}+\frac{43^{3\color{red}q}{\beta}5} \right)$$
其中$\color{blue}{\beta^7-y_1=0}$。同样，这里只需要对一个复数$y_1$开七次方就够了。

IV. 疑问 #

我现在有两个核心问题想请教各位：

• 为什么次数为$n$的预解方程可以分解成两个同次数$n$、系数更小的方程的乘积？这有点像把合数分解成更小的整数，背后有没有什么必然规律？是不是伽罗瓦理论中隐含了预解方程对应的代数数是“可分解”的，还是需要满足特定条件才行？
• 为什么其中一个因式是回文多项式？比如在$p=11$的例子里，$b/11^2$也是某个回文多项式的根，这是巧合吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tito Piezas III