嘿，这个问题挺有意思的——避开繁琐的显式求解$y(x)$绝对是明智的选择。这里有几个凸分析的技巧，能帮你优雅地完成证明：

方法一：参数化曲线的二阶导数判别法 #

对于参数化曲线$(x(t), y(t))$，要证明$y$作为$x$的函数是凸的，只需验证其二阶导数$\frac{d^2y}{dx2} \geq 0$对所有$t>1$成立即可。借助链式法则，我们可以把对$x$的导数转化为对参数$t$的导数计算，步骤如下：

1. 计算一阶导数$\frac{dy}{dx}$：
   根据链式法则，$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，先分别求两个参数导数：

   • $\frac{dx}{dt} = \sqrt{t-1} + \frac{t+2}{2\sqrt{t-1}} = \frac{2(t-1)+t+2}{2\sqrt{t-1}} = \frac{3t}{2\sqrt{t-1}}$
   • $\frac{dy}{dt} = 4t^3 + 6t^2 + 6t = 2t(2t^2 + 3t + 3)$
     代入后得到：
     $\frac{dy}{dx} = \frac{2t(2t^2 + 3t + 3)}{\frac{3t}{2\sqrt{t-1}}} = \frac{4\sqrt{t-1}(2t^2 + 3t + 3)}{3}$

2. 计算二阶导数$\frac{d^2y}{dx2}$：
   同样用链式法则，$\frac{d^2y}{dx2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$：

   • 先对$\frac{4}{3}(2t^2+3t+3)(t-1){1/2}$求导，用乘积法则展开并通分整理：
     $\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{2(10t^2 - t - 3)}{3\sqrt{t-1}}$
   • 除以$\frac{dx}{dt} = \frac{3t}{2\sqrt{t-1}}$，最终得到：
     $\frac{d^2y}{dx2} = \frac{4(10t^2 - t - 3)}{9t}$

3. 验证符号：
   二次函数$10t^2 - t - 3$开口向上，对称轴为$t=\frac{1}{20}<1$，当$t=1$时分子值为$6>0$，因此$t>1$时分子始终为正；分母$9t$在$t>1$时也为正，所以$\frac{d^2y}{dx2}>0$对所有$t>1$成立，说明$y(x)$是严格凸的。

方法二：结合凸函数的参数化性质 #

另一个思路是利用$y(t)$本身的凸性：

• 先看$y(t)$作为$t$的函数，其二阶导数$y''(t)=12t^2+12t+6=6(2t2+2t+1)$，显然在$t>1$时$y''(t)>0$，即$y(t)$是严格凸函数；
• 同时$x(t)$在$t>1$时$\frac{dx}{dt}=\frac{3t}{2\sqrt{t-1}}>0$，说明$x(t)$是严格单调递增的，存在反函数$t(x)$；
• 结合参数化曲线凸性的结论：当$x(t)$严格单调递增，且$\frac{d^2y}{dx2}>0$（已通过方法一验证），就能直接推导出$y(x)$的凸性，这个逻辑也能帮你绕开显式化的麻烦。

总结下来，方法一的导数计算虽然有少量代数运算，但每一步都清晰直接，是最容易落地的优雅解法。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sam42