嘿，我完全懂你这个困惑！一开始那个“看似自洽”的错误推导确实很容易误导人——毕竟两个三角形全等，直觉上好像绕相同长度的边旋转应该得到一样的体积，但实际上问题出在旋转轴的选择上，不是所有“长度为P的边”都能作为正确的旋转轴来得到圆锥，而且不同的旋转轴（边或顶点）对应的体积差异可以通过具体计算来明确证明。

咱们一步步拆解，先把问题放在坐标系里更直观：假设原矩形的顶点坐标是A(0,0)、B(P,0)、C(P,Q)、D(0,Q)，沿对角线AC分成两个全等的直角三角形△ABC（顶点(0,0),(P,0),(P,Q)）和△ADC（顶点(0,0),(0,Q),(P,Q)），三角形面积都是 ( S = \frac{1}{2}PQ )。

这里我用帕普斯定理来计算体积会更简单（定理内容：平面图形绕外部轴旋转一周所得几何体的体积，等于图形面积乘以图形重心到旋转轴距离的 ( 2\pi ) 倍），咱们分几种典型旋转情况对比：

1. 绕直角边P旋转（以△ABC绕AB边为例） #

AB边就是长度为P的直角边，作为旋转轴（x轴）。直角三角形的重心在三条中线交点，坐标是 ( (\frac{P}{3}, \frac{Q}{3}) )，重心到AB轴的距离是 ( \frac{Q}{3} )。
代入帕普斯定理：
[
V_1 = S \times 2\pi \times \frac{Q}{3} = \frac{1}{2}PQ \times 2\pi \times \frac{Q}{3} = \frac{1}{3}\pi Q^2 P
]
这就是标准圆锥的体积，没问题。

2. 绕另一条直角边Q旋转（以△ABC绕BC边为例） #

BC边是长度为Q的直角边，作为旋转轴（平行于y轴的直线x=P）。重心到这条轴的距离是 ( \frac{P}{3} )，体积计算：
[
V_2 = S \times 2\pi \times \frac{P}{3} = \frac{1}{2}PQ \times 2\pi \times \frac{P}{3} = \frac{1}{3}\pi P^2 Q
]
这是另一个圆锥的体积，显然和 ( V_1 ) 不同，除非P=Q（正方形的情况）。

3. 绕斜边旋转（以△ABC绕AC边为例） #

先算重心到斜边AC的距离：斜边AC的直线方程是 ( Qx + Py - PQ = 0 )，重心 ( (\frac{P}{3}, \frac{Q}{3}) ) 到这条线的距离为：
[
d = \frac{\left| Q \times \frac{P}{3} + P \times \frac{Q}{3} - PQ \right|}{\sqrt{P^2 + Q^2}} = \frac{PQ}{3\sqrt{P^2 + Q^2}}
]
代入帕普斯定理得体积：
[
V_3 = S \times 2\pi \times d = \frac{1}{2}PQ \times 2\pi \times \frac{PQ}{3\sqrt{P^2 + Q^2}} = \frac{\pi P^2 Q^2}{3\sqrt{P2 + Q^2}}
]
这个体积和前两种圆锥体积明显不同，它是两个同底小圆锥拼接而成的几何体。

4. 绕直角顶点旋转（以△ABC绕A点(0,0)旋转为例） #

旋转轴是过A点且垂直于矩形平面的轴（比如z轴），重心到这个轴的距离是重心到原点的距离：( \sqrt{(\frac{P}{3})^2 + (\frac{Q}{3})^2} = \frac{\sqrt{P^2 + Q^2}}{3} )。
体积计算：
[
V_4 = S \times 2\pi \times \frac{\sqrt{P^2 + Q^2}}{3} = \frac{1}{2}PQ \times 2\pi \times \frac{\sqrt{P^2 + Q^2}}{3} = \frac{\pi PQ \sqrt{P^2 + Q^2}}{3}
]
这个体积远大于前面的圆锥体积，是一个类似“空心扇柱”的几何体。

5. 你提到的错误情况：△ADC绕原矩形的AB边旋转 #

这时候旋转轴还是AB边（x轴），但△ADC的重心坐标是 ( (\frac{P}{3}, \frac{2Q}{3}) )，重心到AB轴的距离是 ( \frac{2Q}{3} )，体积：
[
V_5 = S \times 2\pi \times \frac{2Q}{3} = \frac{1}{2}PQ \times 2\pi \times \frac{2Q}{3} = \frac{2}{3}\pi Q^2 P
]
这就是你说的“圆柱减圆锥”的体积，刚好是 ( V_1 ) 的2倍，和正确圆锥体积差异明显。

通过这几种情况的计算就能清楚看到：同一个三角形绕不同的边或顶点旋转，所得几何体的体积完全不同，核心原因是旋转轴不同时，图形重心到轴的距离有差异，而根据帕普斯定理，体积直接和这个距离挂钩，自然会产生不同的结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sayam Qazi