我想证明正整数范围内的考拉兹猜想不存在简单循环（除了n=1的特殊情况）：具体是从奇数n出发，反复应用变换$\frac{3n+1}{2}$，直到得到一个偶数；此时这个偶数可以表示为$2^c n$（c为整数），除以$2^c$就完成了一次循环。

我的尝试过程 #

1. 首先将奇数n表示为$n=2^b(2a-1)-1$的形式——任何奇数都可以写成这种形式。
2. 对n应用$\frac{3n+1}{2}$变换，推导过程如下：
   $$
   \begin{align*}
   \frac{3((2a-1)2^b-1)+1}{2} &= \frac{3(2a-1)2^b-3+1}{2} \
   &= \frac{3(2a-1)2^b-2}{2} \
   &= 3(2a-1)2^{b-1}-1
   \end{align*}
   $$
3. 当$b>1$时，上述结果仍是奇数，因此可以重复这个变换b次，最终得到$3^b(2a+1)-1$。
4. 循环成立的条件应该满足：
   $$3^b(2a+1)-1=2c(2^b(2a+1)-1)$$
   我认为只要证明这个方程在自然数范围内没有对应n=1之外的解，就能完成循环不存在性的证明，但目前我找不到可行的证明方法。

想请教大家：有没有办法证明这个方程无其他自然数解？或者有没有更简便的思路来解决考拉兹猜想中简单循环不存在性的问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Desmond