嗨，我来帮你梳理一下你的解法问题，同时给出完整的正确推导思路~

首先，你的第一步关于积分发散的结论是对的，但推导过程可以更简洁，而且最后一步的逻辑有明显错误：你说“$\int_{0}^{\infty} P(X_1 \geq at) dt = ∞$ 意味着 $P(X_1 \geq at) = 1$”是完全不对的——积分发散只是说明被积函数衰减得足够慢，和概率恒为1没有任何关系，毕竟题目里只是期望无穷，不是随机变量本身几乎必然取无穷大值。

下面是完整的正确推导步骤：

步骤1：验证积分$\int_{0}^{\infty} P(|X_1| > at) dt = ∞$ #

对于非负随机变量$Y$，我们有期望的积分表示：
$$E[Y] = \int_{0}^{\infty} P(Y > t) dt$$
这里取$Y=|X_1|$，已知$E[|X_1|] = ∞$，因此：
$$\int_{0}^{\infty} P(|X_1| > t) dt = ∞$$
做变量替换$u = at$（$a>0$），则$t = u/a$，$dt = du/a$，代入积分得：
$$\int_{0}^{\infty} P(|X_1| > at) dt = \frac{1}{a} \int_{0}^{\infty} P(|X_1| > u) du = \frac{1}{a} \cdot ∞ = ∞$$
这就验证了hint里的积分发散结论。

步骤2：利用Borel-Cantelli引理证明尾事件概率为1 #

我们需要先证明级数$\sum_{n=1}^{\infty} P(|X_n| > an) = ∞$，再结合独立同分布的条件，用Borel-Cantelli引理第二部分（独立事件组中，若事件概率和发散，则事件无穷多次发生的概率为1）。

根据hint的提示：当$t > n$时，$at > an$，因此事件${|X_1| > an}$包含事件${|X_1| > at}$，所以有：
$$P(|X_1| > an) ≥ P(|X_1| > at) \quad \forall t > n$$
接下来把积分拆成级数形式：
$$\int_{0}^{\infty} P(|X_1| > at) dt = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{n}^{n+1} P(|X_1| > at) dt$$
对于每个$n ≥ 0$，当$t ∈ [n, n+1]$时，$t ≤ n+1$，即$at ≤ a(n+1)$，因此$P(|X_1| > at) ≥ P(|X_1| > a(n+1))$，所以：
$$\int_{n}^{n+1} P(|X_1| > at) dt ≥ P(|X_1| > a(n+1)) \cdot (n+1 - n) = P(|X_1| > a(n+1))$$
把所有项加起来：
$$\int_{0}^{\infty} P(|X_1| > at) dt ≥ \sum_{n=0}^{\infty} P(|X_1| > a(n+1)) = \sum_{k=1}^{\infty} P(|X_1| > ak)$$
因为左边积分是∞，所以右边的级数$\sum_{k=1}^{\infty} P(|X_1| > ak)$也必然发散。

又因为$X_n$独立同分布，所以$P(|X_n| > an) = P(|X_1| > an)$，因此$\sum_{n=1}^{\infty} P(|X_n| > an) = ∞$。

根据Borel-Cantelli引理第二部分，对于独立事件序列${|X_n| > an}_{n≥1}$，概率和发散意味着：
$$P(|X_n| > an \text{ 对无穷多个 } n \text{ 成立}) = 1$$

对你的解法的总结 #

• 积分发散的结论正确，但推导时不用绕到$E[|aX_1|]$，直接变量替换更简洁；
• 最后一步的逻辑错误是核心问题，不能由积分发散推出概率恒为1，必须借助Borel-Cantelli引理完成证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Marco Di Giacomo