我现在在做一个程序，需要解决这类线性不等式问题：
$$Ax\leq b $$
其中$A$是$m\times n$的实矩阵，$x \in \mathbb{R^n} $，$b \in \mathbb{R^m} $，同时还要满足这些约束条件：

• $\sum_{j=0}^n x_j= 1$
• $x_j\geq 0, \forall ,j\in J$
• $b_i\geq 0, \forall , i\in I$

我需要找到三类解：

• 能最小化$x$的解
• 能最大化$x$的解，还要指出是哪个$x_j$让这个解达到了约束上限（就像我下面举的例子那样，我暂时没法精准描述这个需求）
• 最接近$x_j = \frac{1}{n}, : \forall ,j\in J $的解

示例说明 #

举个很简单的例子：
给定 $A = (1.5, 0.2)$，$b=1$，我期望得到的三类解是：

• $S_1={x_1=0\quad \wedge\quad x_2=1} $
• $S_2 ={x_1=0.615\quad \wedge\quad x_2=0.385},\quad$ $x_1$是让解触达约束上限的变量
• $S_3={x_1=0.5\quad \wedge\quad x_2=0.5} $

我的困惑与求助 #

我本来觉得直接实现单纯形算法就行，但后来发现单纯形算法需要目标函数对吧？可我现在好像没有现成的目标函数。能不能针对我这三类需求分别构造合适的目标函数？或者有没有其他好的思路可以推荐？

补充一下：$J$和$I$的元素个数都不超过20，而且我之前从来没接触过线性规划😅

编辑补充：关于最大化/最小化的具体含义，我大概是这个意思：
$$min{c^T x,|, x\in \mathbb{R^n} \wedge Ax \leq b \wedge x,b \geq 0}$$
$$max{c^T x,|, x\in \mathbb{R^n} \wedge Ax \leq b \wedge x,b \geq 0}$$
我不太确定这个$c$向量该怎么选，这应该就是我缺失的部分吧？
我对线性规划的了解大多来自基础的线性规划理论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Blueman