嘿，这个问题问得很有意思！咱们先把问题里的两种交换方式理清楚，再聊聊为什么它们都不会改变矩阵的秩：

先明确两种交换定义 #

• 原始环绕对角线交换：像3阶行列式计算那样，把两条“环绕”的对角线元素互换（比如你给出的例子里，矩阵A的红色对角线和蓝色对角线元素交叉互换）
• 规范交换（保持反对角线）：互换两条对角线D和D'的元素时，保证每个元素和它互换的元素在同一条反对角线上（也就是满足位置坐标i+j数值相同的位置）

为什么这些交换都保秩？ #

核心原因在于：这类交换本质上等价于用可逆矩阵（置换矩阵）对原矩阵做行/列变换，或者两者的组合。

咱们都知道，给矩阵左乘一个置换矩阵，相当于对矩阵的行做重新排列；右乘置换矩阵则是对列做重新排列。而置换矩阵都是可逆的（它的逆就是自身的转置），一个矩阵乘可逆矩阵时，秩是完全保持不变的——因为可逆变换不会改变向量空间的维度，对应的矩阵秩自然也不会变。

拿你补充的3阶规范交换例子来说，这个变换其实可以拆解成一系列行置换和列置换的组合，或者直接对应某个置换矩阵P，使得B = P A P⁻¹（置换相似变换）。不管是哪种形式，都是可逆变换，所以矩阵B的秩和原矩阵A完全一致。

你提到的n=2的情况也符合这个逻辑：交换后相当于行/列的置换，秩肯定不会改变，和你的观察完全吻合。

结论 #

不管是原始的环绕对角线交换，还是你定义的这种保持反对角线的规范交换，都不会改变矩阵的秩。甚至更一般地，只要这种元素交换是一个“双射的位置置换”（每个元素都换到唯一的新位置，且所有位置都被覆盖），本质上都是置换等价或相似变换，必然会保持矩阵的秩不变。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Henrique Augusto Souza