嘿，我来帮你把这个问题掰明白，你的老师说的其实不完全准确，咱们一步步拆解清楚：

首先：为什么圆内接等腰三角形的高会经过外接圆圆心？ #

这个结论是对的，原因很直观：

• 外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点。对于等腰三角形来说，底边的高同时也是底边的垂直平分线（等腰三角形三线合一的性质），而外心必然在底边的垂直平分线上，所以这条高一定穿过圆心。

关键疑问：高是不是一定大于半径？当然不是！ #

你的老师大概率只考虑了锐角等腰三角形的情况，但其实存在高小于半径的圆内接等腰三角形，甚至还有高等于半径的情况，咱们用推导和具体例子来说明：

假设外接圆半径为R，设等腰三角形底边对应的圆心角为θ（0 < θ < 2π），圆心到底边的距离为d = |R cos(θ/2)|：

• 当三角形是锐角等腰三角形时，顶点和圆心在底边的同侧，此时三角形的高h = R + d，因为d是正数，所以h > R，这就是你老师提到的情况。
• 当三角形是直角等腰三角形时，斜边就是外接圆的直径，此时高是斜边的一半，刚好等于半径R。
• 当三角形是钝角等腰三角形时，顶点和圆心在底边的两侧，此时高h = |R - d|。比如取外接圆半径R=1，圆心在原点，让等腰三角形的顶点在(0,-1)，底边AB的中点M在(0, -0.2588)（对应cos75°≈0.2588），AB所在直线的y坐标是-0.2588，此时从顶点(0,-1)到AB的高就是|-0.2588 - (-1)| = 0.7412，明显小于半径1。这就是一个高小于半径的圆内接等腰三角形。

总结一下三种情况：

• 锐角圆内接等腰三角形：高 > 半径
• 直角圆内接等腰三角形：高 = 半径
• 钝角圆内接等腰三角形：高 < 半径

所以你的老师的说法是不全面的，漏掉了钝角和直角的情况~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SURYA SRIVASTAVA