嘿，这个问题问得好！其实你猜的没错——生成函数的log就是对形式幂级数做对数运算，和你熟悉的普通函数对数本质上是一套规则，只不过我们是在形式幂级数的框架里定义这个操作的，不用纠结收敛性，纯代数层面的操作就行～

首先得明确一个前提：能取log的生成函数，常数项必须是1（因为log(1)=0，这样展开后的幂级数才不会出现矛盾的常数项问题）。你读的书里的H(t)是完全齐次对称函数的生成函数，它的形式肯定是H(t) = 1 + h₁t + h₂t² + h₃t³ + ...，常数项为1，完全满足取对数的条件。

那形式幂级数的log具体怎么定义呢？其实有两种等价的方式：

• 一种是利用指数运算的逆运算：定义log(H(t))为满足exp(g(t)) = H(t)的幂级数g(t)，同时要求g(0)=0（这里的exp也是形式幂级数的指数运算，就是照搬e^x的泰勒展开形式）。
• 另一种更实用的方式，是直接套用普通对数的泰勒展开规则，把H(t)写成1 + f(t)（其中f(t)是没有常数项的幂级数），那么：

  log(H(t)) = log(1 + f(t)) = f(t) - f(t)²/2 + f(t)³/3 - f(t)⁴/4 + ...

而你遇到的推导里，P(t) = ∂/∂t log(H(t)) = H'(t)/H(t)，这个结论和普通微积分里的对数导数规则完全一致！因为形式幂级数的求导就是逐项求导，除法也是在幂级数环里定义的（只要除数的常数项非零），所以这个推导在形式幂级数的框架下完全成立，没有特殊之处。

举个简单的例子帮你直观理解：
假设H(t) = 1/(1-t) = 1 + t + t² + t³ + ...（这是单变量下的完全齐次对称函数生成函数），那么log(H(t)) = -log(1-t) = t + t²/2 + t³/3 + t⁴/4 + ...，对它逐项求导后得到1 + t + t² + t³ + ...；而H'(t) = 1/(1-t)²，H'(t)/H(t) = 1/(1-t)，刚好就是求导后的结果，完美匹配。

回到MacDonald的书里，这里的所有操作都是在形式幂级数环中进行的，我们只需要遵循幂级数的代数运算规则（逐项加减、卷积乘法、逐项求导、逆元运算等），不需要考虑级数是否在某个实数/复数域上收敛——这也是生成函数理论里的核心思路之一：把级数当成代数对象来处理，而不是分析对象。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Benian