嘿，这个问题问得很精准——从两对线性无关的原向量和旋转后向量反推四元数转子（或者等价的旋转轴与角度），确实是几何计算里的常见需求。我来给你拆解两种实用的思路，一步步搞定：

先明确核心关系 #

首先咱们再锚定一下问题里的核心等式：对于单位转子 R = e^{θ\hat{n}/2}，它满足：

R v₁ R⁻¹ = v'₁
R v₂ R⁻¹ = v'₂
因为R是单位四元数，所以它的逆等于共轭（R⁻¹ = R*），这个性质后面会反复用到。另外，题目里说v₁、v₂线性无关，这很关键——这意味着它们能张成一个平面，结合叉乘就能覆盖整个三维空间，给我们足够的约束来解出R。

方法一：通过旋转矩阵间接求解 #

这种方法更直观，适合熟悉线性代数的朋友：

1. 验证输入合理性：旋转是正交变换，必然保持向量的内积和叉积模长。先检查 v₁·v₂ = v'₁·v'₂，以及 |v₁×v₂| = |v'₁×v'₂|，如果不满足，说明输入有误，没有合法的旋转解。
2. 构造旋转矩阵M：旋转矩阵M满足 M v₁ = v'₁、M v₂ = v'₂。因为v₁、v₂线性无关，第三列可以用叉乘补全：M(v₁×v₂) = v'₁×v'₂（旋转也保持叉积的方向和模长）。这样就能得到完整的3×3正交矩阵M。
3. 从旋转矩阵转四元数转子：
   • 先计算矩阵的迹 tr(M) = M₁₁ + M₂₂ + M₃₃
   • 如果 tr(M) > 0，转子的实部 s = √(1 + tr(M)) / 2，虚部分量：

     x = (M₃₂ - M₂₃) / (4s)
     y = (M₁₃ - M₃₁) / (4s)
     z = (M₂₁ - M₁₂) / (4s)
     

   • 如果 tr(M) ≤ 0，找矩阵中对角元最大的那个（比如M₁₁最大），则：

     x = √(1 + M₁₁ - M₂₂ - M₃₃) / 2
     s = (M₃₂ - M₂₃) / (4x)
     y = (M₁₂ + M₂₁) / (4x)
     z = (M₁₃ + M₃₁) / (4x)
     

   这样得到的 R = s + xî + yĵ + zk 就是我们要的转子。

方法二：直接联立四元数方程求解 #

这种方法更贴近四元数本身的代数性质：

1. 拆分转子结构：设转子 R = s + xî + yĵ + zk，其中s是实部，(x,y,z) 是虚部向量（对应旋转轴的方向，后续要归一化）。
2. 展开等式列方程：把 R v₁ = v'₁ R 展开（因为 R v₁ R⁻¹ = v'₁ 等价于 R v₁ = v'₁ R），将等式两边的实部、î、ĵ、k分量分别相等，得到4个线性方程；再用v₂和v'₂做同样的操作，又得到4个方程。
   比如展开后实部相等会得到：x(a' - a) + y(b' - b) + z(c' - c) = 0（这里v₁=(a,b,c)，v'₁=(a',b',c')），虚部î分量相等会得到：s(a - a') + y(c + c') - z(b + b') = 0。
3. 联立方程求解：结合单位四元数的约束 s² + x² + y² + z² = 1，用线性代数的方法解这个方程组。注意：R和-R对应的是同一个旋转（因为(-R)v(-R)⁻¹ = R v R⁻¹），所以解会有两个，取其中一个即可。

从转子提取旋转轴和角度 #

不管用哪种方法得到转子R后，就能轻松算出旋转轴和角度：

• 旋转角度：θ = 2 arccos(s)，其中s是R的实部。
• 旋转轴：当θ≠0时，旋转轴单位向量 \hat{n} = (x,y,z) / sin(θ/2)；如果θ=0，说明没有旋转，R=1。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Theta n