背景知识 #

设$(X,\mathcal{A},\mu)$为测度空间，$f, g\colon X \to \overline{\mathbb{R}}$为可测函数。我们定义等价关系：
$$f\sim g \iff f=g\quad\text{a.e}$$

对$p\in [1,\infty)$，定义向量空间：
$$\mathcal{L}^p(X,\mathcal{A},\mu):=\left{f\colon X\to \overline{\mathbb{R}}; |; \text{f是可测函数且}\quad \rVert f\lVert_p<\infty\right},$$
其中$p$-范数为：
$$\rVert f\lVert_p:=\left[\int_X |f|^p; d\mu\right]^{\frac{1}{p}}.$$

由于要构造赋范空间，我们定义商空间：
$$L^{p(X,\mathcal{A},\mu):=\mathcal{L}}p(X,\mathcal{A},\mu)/\sim.$$
$L^p$中的元素是等价类$[f]$，其中：
$$[f]:=\left{g\in\mathcal{L}^p;|; g=f\quad \text{a.e.}\right}$$

所有教材中都会提到：我们可以将每个等价类与其代表元等同而不产生问题，或者等价地，把$L^p$中的一般元素视为几乎处处定义的函数。

核心问题 #

为什么我们可以把$L^p$中的一般元素（即等价类）视为几乎处处定义的函数？

对peek-a-boo评论的回复 #

我没太明白你说的意思，现在我再详细解释一下我的思路：

如果$g\in [f]$，那么$g=f$几乎处处成立，因此集合$N:={f\ne g}$是零测集。

如果我们忽略$g$在$N$上的定义，就得到一个函数$g\colon X\setminus N\to \overline{\mathbb{R}}$——这就是一个几乎处处定义的函数。之后，我们可以把$g$在$N$上重新定义为0，此时仍然有$[g]=[f]$。这就是为什么我说每个等价类可以用无穷多种几乎处处定义的函数来表示。反过来，每个几乎处处定义的函数通过商空间的投影也能确定一个等价类。从这个角度看，把同一等价类中的所有元素等同起来，将其视为一个单一的几乎处处定义的函数是很自然的。

请问这个推理在形式上是正确的吗？

我真正想搞清楚的是：为什么$L^p$空间中的一般元素（等价类）可以被看作几乎处处定义的函数。

对Paul Sinclair评论的回复 #

我理解你说的内容，但我还是要引用F. Smarrazzo和A.Tesei所著《Measure Theory and Nonlinear evolution equations》中的原文：

用$\mathcal{N}_{\mu}$表示$\mu$-零测集的集合。

我还是不明白，为什么做这种等同是自然的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者NatMath