嘿，这个问题挺有意思的——毕竟数学发展史上，不少定理的结果真的给当时的数学家泼了冷水，完全打破了他们长久以来的期待。除了你提到的哥德尔不完备定理，还有好几个值得说道的例子：

• 连续统假设的独立性：希尔伯特曾把连续统假设列为20世纪最重要的23个数学问题之首，当时大量数学家都期待能证明或证伪它——简单来说就是想搞清楚：有没有一个集合的大小（基数）介于自然数和实数之间？但后来科恩用力迫法证明了，连续统假设和主流的ZFC集合论公理体系是独立的：既没法在ZFC里证明它是对的，也没法证明它是错的。这个结果让很多想彻底解决这个核心集合论问题的数学家大失所望，相当于给这个问题判了“无法在现有框架下定论”的死刑。

• 阿贝尔-鲁菲尼定理：从16世纪开始，数学家们就找到了二次、三次、四次多项式的通用根式解公式，之后几百年里，无数人都在努力寻找五次及以上一般多项式的同类公式。结果阿贝尔和鲁菲尼先后证明了不存在这样的通用根式解，直接击碎了这个延续数百年的希望，当时不少深耕这个方向的数学家都感到无比挫败。

• 停机问题的不可解性：早年间，很多逻辑学家和数学家都希望能找到一个“万能判定算法”——也就是能判断任意给定的程序在给定输入下是否会最终停机的通用方法。但图灵的证明直接宣告了这种算法根本不存在，这让人们意识到有些计算问题本质上就是无法用算法解决的，也浇灭了当时大家对“用算法解决一切可判定问题”的幻想。

• 哥德尔第二不完备定理：这是你提到的不完备定理的延伸，但值得单独拿出来说。它证明了：任何一个足够强且一致的公理系统，都无法在自身内部证明自己的一致性。希尔伯特当年提出的“希尔伯特纲领”，核心就是要构建一个能证明自身一致的完备公理系统，以此为整个数学奠定坚实的基础。这个定理直接宣告了纲领的失败，对当时的形式主义数学学派打击巨大。

• 平行公理的独立性（非欧几何的诞生）：虽然非欧几何后来成了数学和物理学的重要基础，但在它诞生之初，绝大多数数学家都坚信平行公理能从其他欧几里得公理推导出来，为此花了上千年的时间尝试证明。当发现平行公理其实是独立的——也就是说可以构建出平行公理不成立的几何体系时，不少保守派数学家感到难以接受，甚至觉得这是“违背直觉的异端”，这种认知上的巨大冲击，也算是一种对原有期待的失望。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者QED