嘿，这是个很棒的问题！咱们一步步来拆解这个方程组，先从你提到的推导小细节开始纠正，再看具体的解析解法。

首先，先理清楚二阶ODE的正确推导：原方程组是
$$x'(t)=y$$
$$y'(t)=\frac{x^2}{2}$$
把第一个方程的$y=x'(t)$代入第二个方程，对$t$求导的话，应该是$x''(t) = \frac{x(t)^2}{2}$——你之前得到的$y''=xy$其实是把$y'$对$x$求导了？不过没关系，咱们回到这个更直接的二阶自治ODE，用降阶法就能处理它。

具体解法步骤： #

• 令$v = x'(t)$，那么根据链式法则，$x''(t) = v \frac{dv}{dx}$，代入二阶方程得到：
  $$v \frac{dv}{dx} = \frac{x^2}{2}$$
  这是一个可分离变量的一阶ODE，两边积分：
  $$\int v\ dv = \int \frac{x^2}{2}\ dx$$
  计算积分后得到：
  $$\frac{1}{2}v^2 = \frac{x^3}{6} + C_1$$
  整理一下（合并常数项为$K=2C_1$）：
  $$v^2 = \frac{x^3}{3} + K$$
• 因为$v=x'(t)$，所以可以写成：
  $$x'(t) = \pm \sqrt{\frac{x^3}{3} + K}$$
  再次分离变量，得到：
  $$\int \frac{dx}{\sqrt{\frac{x^3}{3} + K}} = \pm t + C_2$$

解的解析性讨论： #

• 当$K=0$时，积分可以用初等函数计算：
  $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^3/3}} = \sqrt{3} \int x^{-3/2}dx = -\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{x}} + C$$
  这时候能直接解出显式的初等函数解：
  $$x(t) = \frac{12}{(t + C_2)^2}, \quad y(t) = x'(t) = -\frac{24}{(t + C_2)^3}$$
• 当$K \neq 0$时，这个积分属于椭圆积分的范畴——它没法用常规的初等函数（多项式、指数、对数、三角函数等）表示，但椭圆积分是被广泛认可的解析特殊函数，也就是说我们可以用这类特殊函数来写出解的解析表达式，只是形式上不是初等函数而已。

所以回到你的核心问题：这个方程组是可以通过解析手段求解的，要么得到初等函数形式的解（特殊常数情况），要么用椭圆积分这类特殊解析函数表示通解。你之前的思路方向是对的，只是中间推导时的变量替换有点小偏差，调整后用降阶法就能顺利推进啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kindaichi