嗨，我来帮你理清这个宇称判定的核心困惑～你这里的关键错误是对宇称变换的具体操作理解偏差了，不是直接把径向坐标$r$换成$-r$哦！

宇称变换的正确定义 #

宇称变换是空间反演操作，在球坐标系下的正确对应是：

• 径向距离$r$是标量，代表到原点的距离，反演后大小不变，依然是$r$（而不是变成$-r$，因为$r$本身是非负的）
• 极角$\theta$变为$\pi-\theta$，方位角$\phi$变为$\phi+\pi$

氢原子的波函数可以拆分为径向部分$R(r)$和球谐函数部分$Y_l^{m(\theta,\phi)$，即$\phi_{nlm}(r,\theta,\phi)=R_{nl}(r)Y_l}m(\theta,\phi)$，宇称判定需要分别看这两部分的变换：

1. 径向部分$R_{nl}(r)$的宇称 #

径向波函数只和$r$的大小有关，和方向无关，所以在宇称变换下，$R_{nl}(r)$完全不变——因为$r$的大小没变化。你之前错误地把$r$替换成$-r$，导致指数项变成$e^{r/2a_0}$，这是完全不对的，因为$r$永远是非负的，反演不会改变它的数值。

2. 球谐函数$Y_l^m(\theta,\phi)$的宇称 #

球谐函数的宇称是量子力学里的基本性质：$Y_l^{m$在宇称变换下的结果是$(-1)}l Y_l^m$。也就是说：

• 当$l$为偶数时，$(-1)^l=1$，球谐函数不变，对应偶宇称
• 当$l$为奇数时，$(-1)^l=-1$，球谐函数变号，对应奇宇称

结合n=2态的波函数验证 #

现在回到你给出的波函数：

• 对于$\phi_{200}$：$l=0$，球谐函数$Y_{00}$是常数，宇称变换后不变；径向部分$R_{20}(r)=(2a_0)^{{-3/2}2(1-\frac{r}{2a_0})e}{-r/2a_0}$也不变，所以整个波函数$\phi_{200}$在宇称变换下和原函数相等，是偶宇称。
• 对于$\phi_{21m}$（$m=1,0,-1$）：$l=1$，球谐函数$Y_{1m}$在宇称变换后变为$-Y_{1m}$；径向部分$R_{21}(r)=(2a_0)^{-3/2}3{-1/2}(\frac{r}{a_0})e^{-r/2a_0}$不变，所以整个波函数$\phi_{21m}$在宇称变换后等于$- \phi_{21m}(r)$，是奇宇称。

你之前的错误推导，本质是混淆了“空间反演”和“径向坐标取负”——记住，$r$是距离，反演不改变它的大小，只有角度会变化，而球谐函数的宇称才是决定整个波函数宇称的关键部分～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Chan J.