n≥2时范德蒙德矩阵的逆矩阵是否仍为范德蒙德矩阵
先跟大家回顾下范德蒙德矩阵的定义：它是形如以下形式的矩阵：
$$V(\vec x)=V(x_0,...,x_n):=\begin{pmatrix}
1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n \
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \
\vdots &\vdots &\vdots & & \vdots \
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \
\end{pmatrix}$$
其中$x_0,...,x_n\in\Bbb C$，而且我们都知道，范德蒙德矩阵可逆的充要条件是所有$x_i$互不相同。
今天我们要探讨的核心问题是：范德蒙德矩阵的逆矩阵能不能也是范德蒙德矩阵？ 换句话说，是否存在向量$\vec x$和$\vec y$，使得$V(\vec x)V(\vec y)=\mathrm{Id}$（单位矩阵）？
先从变量和约束的数量来直观分析：这里总共有$2(n+1)$个变量（$\vec x$和$\vec y$各包含$n+1$个元素），但约束条件却有$(n+1)2$个（两个矩阵相乘等于单位矩阵，每个位置的元素都要满足等式）。对比一下数量就能发现，当$n≥2$时，$(n+1)2 > 2(n+1)$，约束的数量远多于变量数，所以理论上我们不该期待有解，只有n=0和n=1的情况可能存在解。
比如n=1的时候就有现成的例子：取$\vec x=\vec y=(0,-1)$，对应的范德蒙德矩阵是：
$$V(\vec x)=V(\vec y)=\begin{pmatrix} 1 & \phantom+0 \ 1 & -1 \end{pmatrix}$$
你可以动手算一下，这个矩阵乘自己确实等于单位矩阵——它的逆就是它本身，而本身也是范德蒙德矩阵，完美符合条件。
那回到我们的核心问题：n≥2的时候，范德蒙德矩阵的逆矩阵还能是范德蒙德矩阵吗？
答案是不能，我给大家从两个角度解释原因：
从插值多项式的角度理解
假设$V(\vec x)V(\vec y)=\mathrm{Id}$，那么对于每个$k$，$V(\vec y)$的第$k$列向量$v_k$满足$V(\vec x)v_k=e_k$（$e_k$是单位向量，第k个位置为1，其余为0）。这意味着$v_k$对应的多项式$p_k(t)=\sum_{i=0}^n (v_k)i t^i$满足$p_k(x_j)=\delta{jk}$（克罗内克函数，当j=k时取1，否则取0），也就是$p_k(t)$是在点$x_j$处的拉格朗日插值基多项式。
而拉格朗日基多项式的形式是$p_k(t)=\prod_{j≠k} \frac{t-x_j}{x_k-x_j}$，这个多项式的次数是n，但它的系数结构和范德蒙德矩阵列对应的单项式$ti$完全不同——范德蒙德矩阵的列是$1,t,t2,...,t^n$在某个点的取值，而拉格朗日基是分式乘积展开后的多项式，当n≥2时，根本没法对应到某个向量$\vec y$生成的范德蒙德矩阵的列。
从代数推导的角度证明
假设存在这样的$\vec x$和$\vec y$，那么$V(\vec x)$和$V(\vec y)$互为逆矩阵，它们乘积的每个元素都要满足：$\sum_{k=0}^n x_i^k y_j^k = \delta_{ij}$。
当n≥2时，取i≠j，这个等式就是等比数列求和：$\sum_{k=0}^n (x_i y_j)^k = 0$。如果$x_i y_j≠1$，求和结果为$\frac{1-(x_i y_j)^{n+1}}{1-x_i y_j}=0$，所以必须有$(x_i y_j)^{n+1}=1$；如果$x_i y_j=1$，求和结果就是n+1，显然不等于0，矛盾，因此所有i≠j都满足$(x_i y_j)^{n+1}=1$。
现在取三个不同的下标i,j,m，那么$(x_i y_j)^{n+1}=1$，$(x_i y_m)^{n+1}=1$，$(x_j y_m){n+1}=1$。把前两个式子相除，得到$(y_j/y_m){n+1}=1$，即$y_j{n+1}=y_m{n+1}$，同理可得所有$y_k{n+1}$都相等，设为c；同样的，所有$x_k{n+1}$也都相等，设为d，那么$cd=1$。
但再看i=j的情况：$\sum_{k=0}^n (x_i y_i)^k=1$，如果$x_i y_i≠1$，等比数列求和得$\frac{1-(x_i y_i)^{n+1}}{1-x_i y_i}=1$，结合$cd=(x_i{n+1})(y_i{n+1})=(x_i y_i)^{n+1}=x_i y_i$，而$cd=1$，所以$x_i y_i=1$，这时候求和结果就是n+1=1，即n=0，矛盾。这就说明n≥2时根本不存在这样的$\vec x$和$\vec y$。
综上，当n≥2时，范德蒙德矩阵的逆矩阵不可能是范德蒙德矩阵。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者M. Rumpy
