各位几何领域的大神们，我最近碰到一道几何证明题，琢磨了好久没理清头绪，想请教下大家的思路！题目具体内容如下：

设△ABC内接于圆$(O)$，$AO$延长交圆$(O)$于$D$点，$E$在$DA$的反向延长线上。过$E$作$AD$的垂线，交$BC$于$T$点。过$T$作圆$(O)$的切线，切点为$P$（$P$与$A$在$BC$的异侧）。$AP$交$TE$于$Q$点，$M$是$AQ$的中点。$TM$分别交$AB$、$AC$于$X$、$Y$两点，求证：$M$是$XY$的中点。

我的老师提示说调和分割会是解题的核心突破口，我自己尝试了一个方向：让$TX$与圆$(O)$交于$F$、$G$两点，想通过蝴蝶定理证明$M$是$FG$的中点，但推导到这里就卡住了，不知道怎么把这个结论和“$M$是$XY$中点”关联起来，或者有没有更直接的调和分割切入角度？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ttp266