嘿，这个推导其实就是一系列等价变形的过程，咱们拆开来一步步理清楚就不会懵了～

首先看原概率里的不等式：$\mathbb{P}(\sqrt{s}|Z_1| > \sqrt{1-s}|Z_2|)$，因为$s\in[0,1]$，$\sqrt{s}$和$\sqrt{1-s}$都是非负数，而且两边都是绝对值（肯定非负），所以我们可以放心做平方操作——毕竟非负数的平方是单调递增的，不会改变不等号方向：

1. 对不等式两边同时平方，得到：
   $$s Z_1^2 > (1-s) Z_2^2$$

2. 把所有项移到左边整理一下，提取公因子$s$：
   $$s(Z_1^2 + Z_2^2) > Z_2^2$$
   这里只是把$sZ_2^2$移到右边再移回来合并，你可以自己算一遍验证~

3. 接下来关键的一步：因为$Z_1$和$Z_2$是独立标准正态变量，$Z_1^2 + Z_2^{2$是自由度为2的卡方分布，它**几乎处处都是正数**（只有$Z_1=Z_2=0$时为0，但这个事件概率是0，完全不影响结果）。所以我们可以两边同时除以$Z_1}2 + Z_2^2$，不等号方向不变：
   $$s > \frac{Z_2^2}{Z_12 + Z_2^2}$$

4. 最后，两边同时开根号——同样，两边都是非负数，开根号也不会改变不等号方向。右边开根号后，分子$Z_2^{2$开根号是$|Z_2|$，分母$Z_1}2+Z_2^{2$开根号是$\sqrt{Z_1}2+Z_2^2}$，所以就得到：
   $$\sqrt{s} > \frac{|Z_2|}{\sqrt{Z_1^2 + Z_2^2}}$$

把这个不等式反过来写，就和题目里右边的概率事件完全一致了：
$$\mathbb{P}\bigg{\frac{|Z_2|}{\sqrt{Z_1^2+Z_22}}<\sqrt{s}\bigg}$$

至于你提到的分母里的瑞利变量：$\sqrt{Z_1^2+Z_22}$其实就是二维标准正态随机向量的模长，它确实服从瑞利分布，但这里它是通过代数变形自然出现的，不是凭空引入的——我们只是在整理不等式的过程中，把分母凑成了这个模长而已。

整个过程每一步都是等价变形，所以两个事件的概率自然相等~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者EzBots