嘿，咱们一步步拆解你的问题，这样思路会更清晰：

问题1：能否将联合分布分解为 $P(X,Y,Z)=P(X)*P(Y|X)*P(Z|X)$？ #

这个分解成立的关键是给定X时，Y和Z是条件独立的，也就是$P(Z|X,Y)=P(Z|X)$。你提到没有Y和Z的直接关系，但要注意：边缘独立（即$P(Z,Y)=P(Z)P(Y)$）不等于条件独立。只有当已知X的情况下，Z的分布完全不受Y的影响，这个分解才是对的。

举个例子：如果X是“天气状况”，Y是“带伞的人数”，Z是“出门的人数”——Y和Z可能边缘上不独立，但如果给定X（比如下雨），Y和Z的关系可能就只是都依赖于X，彼此之间没有额外影响，这时候条件独立就成立，你的分解就可行。如果你的问题背景里确实不存在Y对Z的条件依赖，那这个写法没问题。

问题2：如何求X和Y的联合PDF $f(y,x)$？ #

首先要明确：你给出的关系$Y = y_0 - aX$是完全确定的函数关系，这意味着X和Y不是独立的，而是完全线性相关的——给定X的取值，Y的值就被唯一确定了，反过来也一样。

关于你提到的公式 #

你说的$f(y,x)=f_Y(y) * f_X(x) * |dx/dy|$是错误的，这个公式是用于随机变量的变量替换（比如从X变换到Y=g(X)时求Y的PDF），但这里不是替换，而是两个变量完全依赖，所以常规的二维联合PDF是不存在的（因为概率集中在二维平面的一条直线上，密度是狄拉克δ函数的形式）。

正确的处理方式 #

如果要计算条件概率$P(Y|X)$：

• 若X是离散型随机变量：当X取$x$时，Y只能取$y_0 - a x$，所以$P(Y = y_0 - a x | X = x) = 1$，其他Y值的条件概率都是0。
• 若X是连续型随机变量：条件PDF$f(y|x)$就是$\delta(y - (y_0 - a x))$，其中$\delta$是狄拉克δ函数，用来表示概率集中在$y=y_0 - a x$这一点。

关于你提到的泊松+正态分布的矛盾 #

你说X是泊松分布（离散型），Y是正态分布（连续型），但又有$Y=y_0 - aX$的关系——这会产生矛盾：因为X的取值是离散的0,1,2,...，Y的取值也会是离散的$y_0, y_0 -a, y_0 -2a,...$，不可能是连续的正态分布。

解决这个矛盾的常见思路是调整假设：比如Y是给定X时服从正态分布，即$Y | X \sim N(y_0 - aX, \sigma^2)$，这样X是离散型，Y是连续型，联合PDF就可以写成：
$$f(y,x) = f_Y(y|x) \cdot P(X=x)$$
其中$f_Y(y|x)$是均值为$y_0 - a x$、方差为$\sigma^2$的正态分布PDF，$P(X=x)$是泊松分布的概率质量函数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AtoZ