嘿，咱们来一步步盘这个计算的正确性，再聊聊更直观的解释思路~

首先明确问题：我们要计算的是这个极限：
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{d}{dx}\left(\frac{f[g(x)]-f[g(-x)]}{g(x)-g(-x)}\right) \tag1$$
你设这个极限为$y$，然后给出了一套推导步骤，最后得出结果为0。咱们先拆解每一步的合理性：

步骤合理性分析 #

1. 步骤(2)：商的导数法则应用
   这一步完全没问题——只要$g(x)-g(-x)$在$x=0$的某个去心邻域内不为0，同时$f$和$g$都一阶可导（这里用到了链式法则求导$f[g(x)]$和$f[g(-x)]$），商的导数法则就适用，推导出来的分子表达式是正确的。

2. 步骤(3)：代数拆分重组
   把步骤(2)的分子拆成两个分式相加，是纯粹的代数变形，只要分母不为0就成立，这一步逻辑上没毛病。

3. 步骤(4)：洛必达法则的应用
   这里需要注意洛必达的适用前提：当$x\rightarrow0$时，每个分式的分子和分母都趋于0（满足0/0型）：

   • 分子部分：$\frac{f[g(x)]-f[g(-x)]}{g(x)-g(-x)}$是$f$在$g(x)$和$g(-x)$之间的差商，当$x\rightarrow0$时，$g(x)$和$g(-x)$都趋近于$g(0)$，所以这个差商趋近于$f'[g(0)]$，因此$f'[g(x)] - \text{差商}$趋近于$f'[g(0)] - f'[g(0)] = 0$；
   • 分母部分：$g(x)-g(-x)$当$x\rightarrow0$时，显然趋近于$g(0)-g(0)=0$。
     同时，这里默认了$f$二阶可导、$g$一阶可导（且$g'(0)\neq0$，不然分母$g'(x)+g'(-x)$趋近于0，洛必达后的分式就无意义了），在这些前提满足的情况下，洛必达的应用是合理的，替换后的表达式也正确。

4. 步骤(5)(6)：化简得出结论
   把步骤(4)的两个分式代入后化简，得到$y=-y$，进而推出$y=0$，这部分代数运算完全正确。

更直观的解释：奇偶性视角 #

其实不用这么复杂的求导推导，咱们从函数奇偶性就能快速理解结果：
设$h(x)=\frac{f[g(x)]-f[g(-x)]}{g(x)-g(-x)}$，咱们看看$h(-x)$是什么：
$$h(-x)=\frac{f[g(-x)]-f[g(x)]}{g(-x)-g(x)}=\frac{-(f[g(x)]-f[g(-x)])}{-(g(x)-g(-x))}=h(x)$$
也就是说$h(x)$是偶函数。而偶函数的导数是奇函数（这个结论你肯定熟：如果$h(-x)=h(x)$，两边求导得$-h'(-x)=h'(x)$，即$h'(-x)=-h'(x)$）。

对于奇函数$h'(x)$，如果$\lim_{x\rightarrow0}h'(x)$存在，那么根据奇函数的性质：
$$\lim_{x\rightarrow0}h'(x)=\lim_{x\rightarrow0}(-h'(-x))=-\lim_{t\rightarrow0}h'(t) \quad (\text{令}t=-x)$$
也就是$y=-y$，直接得出$y=0$，是不是比求导推导简洁多了？

注意前提条件 #

最后要提一下，整个推导成立需要满足几个前提：

• $f$二阶可导，$g$二阶可导（或者至少在$x=0$附近一阶可导且$g'(0)\neq0$）；
• 在$x=0$的某个去心邻域内，$g(x)-g(-x)\neq0$（保证分式有意义）；
• $\lim_{x\rightarrow0}h'(x)$存在（也就是原极限存在，这是我们推导的前提）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shu Li