我目前找不到这个不定积分的初等闭形式解：
$$\int\arcsin\left(\sin^{2}x\right)dx$$
而且我也没有任何依据能证明它存在初等解。

不过我尝试计算了如下的定积分：
$$I=\int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}\arcsin\left(\sin}{2}x\right)dx$$

推导过程 #

我使用了$\arcsin(x)$的级数展开式：
$$\arcsin(x)=\sum_{n=0}^{{\infty}\frac{\left(2n\right)!}{2}{2n}\left(n!\right)^{{2}} \frac{x}{2n+1}}{2n+1}$$
将$\sin^2x$代入展开式后得到：
$$\arcsin\left(\sin^{{2}x\right)=\sum_{n=0}}{\infty}\frac{\left(2n\right)!}{2^{{2n}\left(n!\right)}{2}}\ \frac{\left(\sin x\right)^{4n+2}}{2n+1}$$

把这个级数代入定积分，交换求和与积分顺序（满足收敛条件）：
$$I=\sum_{n=0}^{{\infty}\frac{\left(2n\right)!}{2}{2n}\left(n!\right)^{{2}\left(2n+1\right)} \int_{0}}{\frac{\pi}{2}}\left(\sin x\right)^{4n+2}dx$$

我们已知正弦幂积分的闭形式公式：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin x\right)^{a}dx=\frac{\sqrt \pi}{2}\frac{\Gamma\left(\frac{a+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{a}{2}+1\right)}$$

将其代入后化简阶乘与Gamma函数的关系，最终得到：
$$I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\sum_{n=0}^{{\infty}\frac{\Gamma\left(\frac{4n+3}{2}\right)}{2}{2n}\left(n!\right)^{{2}\left(2n+1\right)}{2}}\ $$

借助Wolfram计算这个求和式，得到了超几何函数形式的结果：
$$\sum_{n=0}^{{\infty}\frac{\Gamma\left(\frac{4n+3}{2}\right)}{2}{2n}\left(n!\right)^{{2}\left(2n+1\right)}{2}}\ =\frac{\sqrt{\pi}}{2},{4}F{3}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{4};1,\frac{3}{2},\frac{3}{2};1\right)$$

因此定积分$I$可以表示为：
$$I=\frac{\pi}{4},{4}F{3}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{4};1,\frac{3}{2},\frac{3}{2};1\right)$$

我的疑问 #

我见过不少超几何函数能化简为更简洁的闭形式，所以想请教大家：

• 不定积分$\int\arcsin\left(\sin^{2}x\right)dx$是否存在初等闭形式解？
• 定积分$I=\int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}\arcsin\left(\sin}{2}x\right)dx$是否存在更简洁的闭形式解？
• 上述超几何级数${4}F{3}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{4};1,\frac{3}{2},\frac{3}{2};1\right)$能否化简为初等函数或更常见的特殊函数形式？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Miracle Invoker