我最近重读《应用范畴论导论》（ISBN 9781108711821）时，对书中涉及偏序关系和并运算的概念彻底卡壳了——之前也问过一个相关问题（布尔值的偏序）但没真正理解答案，现在回来重新啃书，把所有困惑整理成更完整的问题，希望能搞懂核心逻辑。

背景：书中的三元集例子 #

书里为了定义相关概念，用了一个包含三个元素的集合，我这里用x, y, z代替书中的符号（对应原书第5页内容）。书中给出的核心定义是：

$A \leq B$ if, whenever $x$ is connected to $y$ in $A$, then it is connected to $y$ in $B$.

首先我就对这个≤符号的含义犯懵：书里从来没明确给它命名，直觉上会认为是“小于等于”，但书里的表述又常常暗示它是“小于（更小）”，可实际例子里又似乎包含“等于”的情况，这让我特别困惑。

具体困惑点 #

1. 布尔值例子中的并运算疑问

书里后来讲到布尔集$\mathbb{B}={true, false}$的偏序：false ≤ true，补充说明“因此false ≤ false、false ≤ true、true ≤ true，但true ≰ false，换句话说，$A ≤ B$当且仅当A蕴含B”。

然后有个习题问“true ∨ true是什么？”，答案是true。但根据书中对并运算的定义：

并运算$A \vee B$是同时大于等于A和B的最小系统，即满足$A ≤ (A \vee B)$且$B ≤ (A \vee B)$，并且对任意C，如果$A ≤ C$且$B ≤ C$，那么$(A \vee B) ≤ C$。

这里我就搞不懂了：true怎么能是“同时大于等于true和true的最小系统”？难道不是应该等于自身吗？

2. 三元集例子中的并运算疑问

书里给出了三元集的哈斯图（我用文本图大致还原）：

(x, y, z)
^  ^  ^
|  |  |
/   |  \
/    |    \
/     |      \
(x, y) z  x(y, z)  (x, z) y
^       ^        ^
\      |       /
\     |      /
x, y, z

如果我取两个系统：A是(x, y), z（也就是x和y相连，z孤立），B是x, y, z（三个元素都孤立），那同时大于等于A和B的最小系统是什么？A ∨ B到底是(x, y), z还是(x, y, z)？

3. 最基础的偏序自反性疑问

说到底，我最核心的疑问其实是：对于任意系统A，是否有$A ≤ A$成立？ 这个问题搞清楚了，前面的困惑应该都能解开。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者adrianmcmenamin