最近碰到这么一道空间几何题，我来一步步拆解给大家看：

已知底面为平行四边形ABCD的四棱锥ABCDE，顶点坐标分别为A(2,3,1)，B(4,1,-2)，C(6,3,7)，E(-5,-4,8)，需要计算该四棱锥的体积以及顶点E到底面的高。

我首先选取了三个关键向量：

• $\vec{BA} = (-2,2,3)$
• $\vec{BC} = (2,2,9)$
• $\vec{BE} = (-9,-5,10)$

首先回忆空间几何的知识点：平行六面体的体积等于三个棱向量的混合积的绝对值，也就是$|(\vec{BA} \times \vec{BC}) \cdot \vec{BE}|$。我计算这个混合积对应的行列式得到了-308，取绝对值后就是308。

然后注意到，这个四棱锥可以拆成两个完全一样的四面体，单个四面体的体积公式是$\frac{1}{6}|(\vec{BA} \times \vec{BC}) \cdot \vec{BE}|$，那两个四面体的体积之和就是四棱锥的体积：
$V = 2 \times \frac{1}{6} \times 308 = \frac{1}{3} \times 308$

接下来计算底面平行四边形的面积，平行四边形的面积等于相邻两边向量叉积的模长。我算出$\vec{BA} \times \vec{BC} = (12,24,-8)$，它的模长是$\sqrt{12^2 + 24^2 + (-8)^2} = 28$，也就是底面积$P=28$。

最后用四棱锥的体积公式$V = \frac{1}{3} P H$（其中$H$是顶点E到底面的高），代入数值就能算出：
$H = \frac{3V}{P} = \frac{3 \times \frac{308}{3}}{28} = 11$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mimish