看起来你已经在化简$\sin(nx)$的展开式上走了不少弯路，先给你的思路点个赞——注意到余弦项的幂次是奇数递减的，这个观察非常关键！

你现在遇到的核心问题是：当$m=0$时，你写的乘积$\prod_{i=2}^{{m+2}(n-i)=\prod_{i=2}}{2}(n-i)=n-2$，但原展开式的第一项是没有这个因子的（第一项系数就是$2^{n-1}$），这就是你觉得“初始值应该是1”的原因。本质是乘积的索引范围没匹配上第一项的空乘积场景。

下面给你几个解决思路：

调整乘积索引，适配空乘积规则 #

我们知道空乘积（没有项相乘）的结果是1，这正好对应$m=0$时的情况。可以把乘积改写为：
$$\prod_{k=0}^{m-1}(n-2-k)$$
当$m=0$时，这个乘积是空的，结果为1；$m=1$时，就是$n-2$；$m=2$时，就是$(n-2)(n-3)$，完美匹配原展开式的各项系数。

替换到你的求和式里，就变成：
$$\sin(x)\left(\sum_{m=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor}\frac{2^{{n-(2m+1)}\cos}{n-(2m+1)}(x) \cdot \prod_{k=0}^{m-1}(n-2-k)}{m!}\right)$$
这里把上限改成$\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$是为了避免出现余弦的负幂次，保证每一项都有意义。

用组合数/下降阶乘简化表示 #

如果想让表达式更简洁，可以用组合数替换乘积项。上面的乘积可以等价于：
$$\prod_{k=0}^{m-1}(n-2-k) = m! \cdot \binom{n-2}{m}$$
代入后，求和式可以简化为：
$$\sin(x)\left(\sum_{m=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor} 2^{n-2m-1} \cdot \binom{n-2}{m} \cdot \cos^{n-2m-1}(x)\right)$$
这样看起来就清爽多了，也更符合数学表达式的简洁性要求。

另一种思路：从欧拉公式推导更规范的展开式 #

其实如果你换个起点，从欧拉公式$\sin(nx) = \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i}$出发，结合二项式定理展开$(\cos x + i\sin x)^n$，可以直接得到更标准的级数形式：
$$\sin(nx) = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k+1} \cos^{n-2k-1}(x) \sin^{2k+1}(x)$$
这个形式虽然包含$\sin$的幂次，但你可以通过$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$转化成只含$\cos x$的形式，整理后就能和你最初的展开式对应上，而且系数逻辑会更清晰。

如果坚持用你原来的求和框架，调整乘积索引（利用空乘积为1的规则）是最直接的解决办法；如果想追求更简洁的表达，用组合数替换乘积或者从欧拉公式重新推导都是不错的选择。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者joe_bill.dollar