问题描述 #

从一副52张的扑克牌中，选取4张不同花色且不同点数的卡牌，有多少种选法？

我的解题思路 #

我是这样解题的：

1. 第一张牌有52种选择，比如选了方块K。
2. 第二张牌不能选方块花色，也不能选K点数，所以可选数量是 52-13(方块花色)-3(其他花色的K)=36 种，比如选了红桃Q。
3. 第三张牌不能选方块、红桃花色，也不能选K、Q点数，可选数量是 36-13(红桃花色)-2(其他花色的Q)=21 种，比如选了黑桃A。
4. 第四张牌不能选方块、红桃、黑桃花色，也不能选K、Q、A点数，可选数量是 21-13(黑桃花色)-1(剩下的A)=7 种。

所以总选法是：52×36×21×7=275184 种。

我被告知这个思路是错的，存在重复计数的问题，但我搞不懂为什么。有人能指出这个方法的漏洞吗？

问题分析：为什么会重复计数？ #

核心问题在于：你的计算是基于「有序选牌」的逻辑，但题目要求的是「无序的卡牌组合」。

举个直观的例子：

• 情况1：你按顺序选了「方块K → 红桃Q → 黑桃A → 梅花J」
• 情况2：你按顺序选了「红桃Q → 方块K → 黑桃A → 梅花J」

这两种情况在你的计算里被算作了两种不同的选法，但实际上，这两组卡牌是完全相同的一组，题目里只应该被统计一次。

你的计算过程把每一组卡牌的所有排列顺序都当成了独立的选法。4张不同的卡牌，一共有 4! = 24 种不同的选取顺序，所以你的结果是真实答案的24倍——这就是重复计数的来源。

正确的计算思路 #

我们可以用「无序组合」的逻辑来计算，有两种等价的方法：

方法一：先选点数，再分配花色 #

1. 选4个不同的点数：从13种点数中选4个，组合数为 C(13,4)（即 13×12×11×10÷(4×3×2×1)=715）。
2. 给每个点数分配不同花色：4个点数对应4种不同花色，相当于4种花色的全排列，有 4! =24 种方式。
3. 总组合数：715×24=17160。

方法二：修正你的有序计算 #

既然你的结果是把每个组合重复统计了24次，那么直接用你的结果除以排列数即可得到正确答案：
275184 ÷24=17160，和上面的结果完全一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Akshita Kumar