嘿，我明白你尝试用z=x+iy代入平方展开时遇到了麻烦——其实咱们不用急着代数展开，先从双曲线的几何定义入手，这个方程本身就和两点间距离的关系直接挂钩，反而更直观！

先明确一下前提：这里的|z-a|和|z+a|分别代表复平面上点z到定点a和-a的距离，两个定点a与-a之间的距离是|a - (-a)|=2|a|。接下来咱们分情况讨论：

情况(I)：c > |a| #

你还记得三角不等式吗？对于任意复数z，都有 | |z-a| - |z+a| | ≤ |(z-a) - (z+a)| = 2|a|，换句话说，z到两个定点的距离差的绝对值最大只能等于两个定点之间的距离2|a|。

现在题目里的方程是|z-a| - |z+a|=2c，当c>|a|时，2c>2|a|，这已经超出了距离差能达到的上限，就像你不可能找到一个点，到两个固定点的距离差比这两个点本身的距离还大——所以这种情况下不存在满足方程的复数z，轨迹是空集。

情况(II)：c = |a| #

这时候方程变成|z-a| - |z+a|=2|a|，咱们把它变形一下：|z-a| = |z+a| + 2|a|。从几何角度看，这意味着z到a的距离，等于z到-a的距离加上a与-a之间的距离。

根据三角不等式的等号成立条件，这种情况只有当z、-a、a三点共线，且-a位于z和a之间时才成立。咱们用具体例子验证下：比如a是正实数1，c=1，方程就变成|z-1| - |z+1|=2，代入z=x+iy后，平方化简会得到y=0，再结合移项后左边非负的限制（√[(x-1)²+y²] = √[(x+1)²+y²]+2，右边肯定非负，所以左边也非负，而且右边比左边的根号项大，所以x必须≤-1），最终轨迹就是实轴上从-1向左延伸的射线。

推广到一般情况，这个轨迹就是过点-a，沿着远离a的方向的射线（包括点-a本身），所有在这条射线上的点都满足方程，其他点都不满足。

哦对了，你之前用代数方法没成功，大概率是没注意到平方过程中会产生增根，需要根据原方程的符号限制来筛选解，下次遇到这类带根号的方程，平方后一定要记得验根哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Raghav Madan