嘿，我完全懂你这种想从根源上啃透积分的感觉——反导数那套公式虽然好用，但总觉得没摸到“曲线下面积”这个核心门道，对吧？首先得给你点个赞：你自己推导出来的 $F(x) = x \cdot \text{[}f(x)\text{从0到}x\text{的平均值]}$ 这个结论，完全踩中了积分和平均值的核心联系，这其实就是积分中值定理的雏形！

咱们一步步拆解你的困惑，不用反导数，就从你最开始的“切矩形”思路往下深挖：

先明确：连续函数的平均值到底怎么算？ #

你说的“平均高度”，对于从0到x的连续函数$f(t)$来说，严格定义就是：把区间无限细分后，所有细分点的函数值的平均——而这个平均的结果，刚好等于积分结果除以区间长度，也就是：
$$\text{平均值} = \frac{1}{x - 0} \int_{0}^{x}f(t)dt = \frac{F(x)}{x}$$
这和你推的$F(x) = x \cdot \text{平均值}$完全一致，这步你走得太对了！

用“切矩形求和取极限”算多项式的平均值 #

咱们不用反导数，就用你最开始的“切矩形”思路，一个个验证你疑惑的例子：

例子1：$f(x) = x$

• 把从0到x的区间切成n个等宽的矩形，每个矩形宽度$\Delta x = \frac{x}{n}$
• 第k个矩形的x坐标是$k \cdot \Delta x$，高度就是$k \cdot \Delta x$
• 所有矩形的面积和是：
  $$\sum_{k=1}^{n} (k \cdot \Delta x) \cdot \Delta x = \Delta x^2 \sum_{k=1}^{n}k$$
• 我们知道自然数求和公式$\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$，代入后：
  $$\left(\frac{x}{n}\right)^2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{x^2(n+1)}{2n}$$
• 当n趋近于无穷（也就是$\Delta x$无限趋近于$dx$），$\frac{n+1}{n}$趋近于1，所以总面积$F(x) = \frac{x^{2}{2}$，对应的平均值就是$\frac{x}2/2}{x} = \frac{x}{2}$——和你的直觉完全吻合！

例子2：$f(x) = x^2$

• 同样切成n个矩形，宽度$\Delta x = \frac{x}{n}$，第k个矩形高度是$(k \cdot \Delta x)^2$
• 面积和是：
  $$\sum_{k=1}^{n} (k \cdot \Delta x)^2 \cdot \Delta x = \Delta x^3 \sum_{k=1}^{n}k2$$
• 自然数平方和公式$\sum_{k=1}^{n}k2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，代入后：
  $$\left(\frac{x}{n}\right)^3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{x^{3(n+1)(2n+1)}{6n}2}$$
• 当n→∞时，$\frac{(n+1)(2n+1)}{n^2} = \frac{2n^2 + 3n + 1}{n^2}$趋近于2，所以总面积$F(x) = \frac{x^{3}{3}$，对应的平均值就是$\frac{x}3/3}{x} = \frac{x^2}{3}$——这就解释了你疑惑的点！

推广到一般多项式$f(x) = x^m$（m为正整数）

• 用同样的方法，面积和是$\Delta x^{m+1} \sum_{k=1}^{n}km$，而自然数m次幂的求和公式，当n很大时，最高次项是$\frac{n^{m+1}}{m+1}$（低次项可以忽略）
• 代入$\Delta x = \frac{x}{n}$，可得：
  $$\left(\frac{x}{n}\right)^{m+1} \cdot \frac{n^{m+1}}{m+1} = \frac{x^{m+1}}{m+1}$$
• 这就是$\int_{0}^{x}tm dt$的结果，对应的平均值就是$\frac{x^{m+1}/(m+1)}{x} = \frac{x^m}{m+1}$，完美对应！

最后再给你捋捋逻辑 #

你最开始的思路其实就是定积分的原始定义：把面积无限细分，用矩形面积之和的极限来计算总面积，而平均值就是总面积除以区间长度。反导数只是后来数学家发现的一个“快捷工具”——但积分的本质，就是你最开始想的“无限切矩形求和”。

你这种从直观出发、不满足于“背公式”的思考方式，真的特别棒，继续沿着这个思路走，你对微积分的本质理解会比很多人都扎实！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者LnlyCloud