嗨，这个问题问得相当关键！答案是肯定存在这样的情况——有些一阶逻辑语句在ZFC里为真，但在某些替代集合论里为假，反过来也成立。我给你举几个实际的例子：

• NF集合论（New Foundations）：这是奎因提出的一套和ZFC思路完全不同的集合论。比如语句“存在一个包含所有集合的全集”，在NF里是可以证明为真的，但在ZFC里这个语句绝对是假的——毕竟ZFC正是通过限制集合的构造规则（比如正则公理、分离公理模式）来避免罗素悖论，而全集的存在会直接触发悖论。
• ZF+AD（决定性公理）：ZFC包含选择公理（AC），而决定性公理（AD）和选择公理是互相矛盾的。像语句“每个集合都可以被良序化”，在ZFC里因为选择公理的存在，这个语句是真的（良序原理和选择公理等价）；但在ZF+AD的体系里，这个语句是假的，甚至能证明实数集无法被良序化。

至于你问的“有些替代集合论怎么保证和ZFC结果一致”，这类理论大多是ZFC的保守扩展，最典型的就是你提到的Neumann–Bernays–Gödel（NBG）集合论：

• NBG除了集合之外，还引入了“类”的概念，但它的设计目标之一就是不改变ZFC中关于集合的任何一阶结论。简单来说，任何只谈论集合的一阶逻辑语句，只要在ZFC里能被证明为真或假，在NBG里也会得到完全相同的真值。
• 构造这类保守扩展的思路很明确：在原有ZFC的基础上增加新的对象（比如类）和对应公理，但这些新增内容不会干扰原有集合层面的逻辑推导，相当于给ZFC做了“扩容”但没改变核心规则。

当然，不是所有替代集合论都以和ZFC一致为目标。有的理论是为了探索去掉某条公理的场景（比如不带选择公理的ZF），有的是为了尝试全新的悖论规避方案（比如NF），这些理论的公理体系和ZFC差异较大，自然会出现同一语句真值不同的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者InTheSearchForKnowledge