嗨，看起来你已经迈出了超关键的一步！能想到通过求导关联两个切点的横坐标，这个思路完全没问题👍

先把你的思路整理一下：

My approach: I differentiated both equations, and took $x_{1}$ to be the $x$-coordinate of the point that satisfies the first equation, and took $x_{2}$ to be the x-coordinate of the point that satisfies the second equation. I then got $x_{1}+x_{2}=2$. I am unable to proceed further. Thanks for any further help!

接下来可以这么继续推进：

• 先写出两条抛物线在各自切点处的切线方程：假设第一条抛物线为 $y = f(x)$，切点是 $(x_1, f(x_1))$，切线斜率为 $f'(x_1)$，那么切线方程可以表示为 y - f(x₁) = f'(x₁)(x - x₁)；同理，第二条抛物线 $y = g(x)$ 在 $(x_2, g(x_2))$ 处的切线方程是 y - g(x₂) = g'(x₂)(x - x₂)。
• 因为这是同一条公切线，所以除了斜率相等（这正是你推出 $x_1 + x_2 = 2$ 的依据），两个切线方程的截距也必须完全相等。
• 把 $x_2 = 2 - x_1$ 代入到截距相等的等式中，你会得到一个只含有 $x_1$ 的方程，解这个方程就能求出 $x_1$ 的值，进而得到 $x_2$，最后代入切线方程就能得到公切线的具体表达式了。

如果能补充两条抛物线的具体方程，还可以帮你把推导过程细化得更清楚哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Doge with shades