看起来你在解题时误解了题目的要求哦，你联立两个方程找公共解的思路其实是跑偏啦——题目并没有要求这两个方程有公共解，只是要求每个方程各自都有两个不同的实根，所以我们应该从二次方程有两个不同实根的核心条件入手，也就是判别式大于0。

核心条件分析 #

对于一元二次方程 x² + px + q = 0，它有两个不同实根的充要条件是判别式 Δ = p² - 4q > 0。针对题目里的两个方程，我们可以得到两个关键不等式：

• 方程 x² + ax + b = 0 有两个不同实根：a² - 4b > 0，也就是 b < a²/4
• 方程 x² + bx + a = 0 有两个不同实根：b² - 4a > 0，也就是 a < b²/4

同时题目给出约束：a 和 b 都是正整数，且 a ≤ 8，b ≤ 8。

分情况枚举计数 #

我们可以分两种情况来计算符合条件的有序对：a = b 和 a ≠ b

情况1：a = b #

当 a = b 时，两个条件合并为 a² - 4a > 0，因式分解得 a(a - 4) > 0。因为 a 是正整数，这个不等式等价于 a > 4。结合 a ≤ 8，a 可以取5、6、7、8，对应的有序对是：

• (5,5)
• (6,6)
• (7,7)
• (8,8)
  共4个。

情况2：a ≠ b #

这里需要同时满足 b < a²/4 和 a < b²/4，且 a、b 是1到8之间的不同正整数。我们逐个枚举 a 的可能值，再找对应的符合条件的 b：

• a=1：b < 1²/4 = 0.25，没有正整数 b 满足，跳过
• a=2：b < 4/4 = 1，无符合条件的正整数 b，跳过
• a=3：b < 9/4 = 2.25，b 可取1、2，但验证 a < b²/4 均不成立，跳过
• a=4：b < 16/4 = 4，b 可取1、2、3，验证 a < b²/4 均不成立，跳过
• a=5：b < 25/4 = 6.25，b 可取1-6且≠5，需满足 5 < b²/4（即 b²>20），只有 b=6 符合，得到有序对(5,6)
• a=6：b < 36/4 = 9，b 可取1-8且≠6，需满足 6 < b²/4（即 b²>24），b=5、7、8 均符合，得到有序对(6,5)、(6,7)、(6,8)
• a=7：b < 49/4 = 12.25，b 可取1-8且≠7，需满足 7 < b²/4（即 b²>28），b=6、8 均符合，得到有序对(7,6)、(7,8)
• a=8：b < 64/4 = 16，b 可取1-8且≠8，需满足 8 < b²/4（即 b²>32），b=6、7 均符合，得到有序对(8,6)、(8,7)

情况2共得到8个有序对。

总符合条件的有序对数量 #

将两种情况的数量相加：4 + 8 = 12个。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MineTurtle